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线性代数主要概念的形成

2020年10月18日 / 7次阅读
老男孩学数学

本人愚钝,这么多年,对于线性这个词的理解,始终不到位,理解不清,现在终于清楚了......

线性代数是高等代数的重要组成部分。我们知道,研究关联着多个因素的量所引起的问题,需要使用多元函数。如果所研究的关联性是线性的,那么就称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是解线性方程组,而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展,这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践,正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。在线性代数中,出现了许多重要概念,下面概述其中主要概念的形成过程。

1、行列式和矩阵

行列式出现了线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明的。1693年4月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。《解伏题之法》的意思就是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

1750年,瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论研究。

在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙。

范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐,但对数学有深厚的兴趣,后来终于成为法兰西科学院院士。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则,就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人。1772年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式的概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。

19世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西尔维斯特,他还在1850 年提出了矩阵的概念。

西尔维斯特出生在伦敦的一个犹太人家庭,在剑桥大学学习了纪念,由于宗教的原因,他没有在那里获得学位。之后,在都柏林的三一学院获得了他的博士学位。西尔维斯特是一个活泼、敏感、兴奋、热情,甚至容易激动的人,虽然由于是犹太人的缘故,他受到剑桥大学的不平等对待,但是,西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想,并且在代数学方面取得重要的盛衰。西尔维斯特曾经在伍尔里奇的皇家军事学院作了15年的数学教授,曾在巴尔迪摩新成立的约翰斯霍普金斯大学担任数学系主任,并在那里创建了《美国数学杂志》,并帮助开创了美国的研究生数学教育。

而在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比,他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”,指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,并给出了函数行列的导数公式。雅可比的某种论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在19 世纪得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果出现。除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继产生。

2.矩阵

矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中已明显表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反。

1850年,西尔维斯特指出,矩阵是“表示由m行n列元素组成的矩形排列”,由那个排列,“我们能够形成各种行列式组”。

矩阵这个术语之后由西尔维斯特的朋友凯莱在论文中予以首次使用,其英文愿意是指可以引起其他事情的源头。

英国数学家凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者,因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授教学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进字母表示矩阵的简化记号。1858年他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等,给出了矩阵相乘、相加以及相减等运算法则,以及矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,在论文中首次把矩阵方程与只含有一个变量的简单一元方程做类比,把线性方程组的解用系数矩阵的逆和右端项的乘积来表示,他还指出了矩阵加法的可变换性与可结合性。

他在论文中写到:“我们很容易发现,同阶的矩阵和单个的量非常相似,它们可以被加、减或复合到一起。并且其加法和一般代数量的加法非常相似。考察它们之间的复合,发现矩阵的相乘顺序是不可变换的。尽管如此,构造一个(正的或负的。整数的或小数的)矩阵的乘幂还是可能的,因而就有矩阵的有理函数和整函数,或者更一般的任何矩阵代数函数”。

之后,凯莱继续挖掘他的思想,通过不断寻找一般的代数运算和矩阵运算之间的关系,并仔细留意这种相似性不成立的情况,给出了3×3矩阵的逆的公式,他指出:“当行列式变成0年时候,逆矩阵就没有了,这种矩阵就是不定的,0矩阵是不定的,只有当两矩阵中的一个或两个都是不定时,它们的乘积才可能是0”。

在凯莱把矩阵用单个符号来表示以后,推出了著名的凯莱-哈密顿定理。凯莱提出凯莱-哈密顿定理的动机就是想证明:“任何矩阵都会满足一个与它同阶的代数方程”。另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征根)以及有关一些基本结果。

1855年,埃尔米特证明了别的数学家发现的一引动矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵原特征根性质等。后来,克莱伯施、布克涨姆等证明了对称特征根性质。泰伯引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式的问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题。约当通过现今被称作的约当标准形把矩阵进行了基本分类。约当的分类不是基于矩阵的形式运算,而是特征值(也称谱)理论。在历史上,特征值概念是独立于矩阵理论自身,从不同思想的研究发展起来的。18世纪达郞贝尔对常系数的线性微分方程组解的研究最早引起对矩阵特征值问题的研究,而柯西是通过二次曲面、二次型的研究,证明了所有对角矩阵的特征向量都是实的,对称矩阵可以通过正交变换实现对角化。

1892年,梅茨勒引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要面开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支――矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。

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