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《数学与生活》读书笔记

2020年5月9日 / 54次阅读
老男孩学数学

《数学与生活》这本书的作者是日本人,远山启,因此我就直接看中文版的了。读书记笔记的好处,笔记可以起到非常好的refresh memory的效果。这本书很早就有,也有多个翻译的版本,不同版本的中文名也不全相同。

第1章,数的幼年期

人类的数学知识,是从数数开始的。我相信必须要数数,也是当时生活所迫。

远古时期,数数似乎是件挺困难的事情。历史上出现过许多不同的进制(当时的人还不太能意识到进制这个概念),好几种不同的计数方法。

文明的消亡在远古时期就是家常便饭,一同消亡的还有文明特有的数数和计数的方式。一般都是有先进数数和计数方式的文明,能够战胜不够先进的甚至还不能数数的文明。所以,最后流传下来的数学知识都是比较先进的,而这些先进的方法,本质上就是最简单的方法。比如用手指的数量来计数而形成的5进制或10进制。

古罗马的计数系统不是基于位置的,而是很像古埃及的计数,与位置无关,只需要加总求和。古巴比伦的计数系统就是基于位置的系统,但是远没有现在的计数系统那么简洁明了,估计也是技术手段达不到,他们当时只能在泥板上刻。不清楚是不是古巴比伦的基于位置的计数系统传到了印度,被印度人发扬光大,然后据说是在13世纪初期,又被阿拉伯商人引入欧洲,最后成为一统天下的基于位置的10进制计数系统。

因为,这套基于位置的10进制计数系统,足够简单,也非常强大,能够表示任意数字。

有了这套最底层计数系统工具,之后的数学发展突飞猛进,进而也让其它科学得以发生发展。

基于位置的进位计数系统,不仅仅可以用于10进制,它可以用于任意进制。比如2进制,计算机能够实现复杂计算,也得益于这套基于位置的2进制计数系统。

我们现在把这套最先进的计数系统,在幼儿园时期就教会给了小朋友,他们会认为用这种方式是自然而然,理所当然。其实,人类是经过了漫长的(被动)努力,才彻底解决了数数和计数的问题。

第2章,离散量和连续量

离散量,是多少个,比如数苹果;离散数学就是专门研究离散量的数学。

连续量,是多少,比如水的多少。

离散量和连续量可以相互转化。连续量的测量,要靠离散的单位量(有许多不同的单位);而离散的几个土豆,也可以全部捣烂成土豆泥并混在一起成为连续的东西。

我在想,比如水,在微观下就是离散的水分子,只是宏观上,我们把它当成连续量来处理。

对连续量的测量,因为有零头存在,就抽象出了小数和分数。在古代,分数的计算是相当复杂繁琐的,因为当时的人们不懂得\(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\)这样简单的规则。古埃及人甚至发现\(2\div7=\frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68}\),其计算过程更加复杂。从这件事情可以看出,人类思想和技术的发展,一开始大多并不简单,而发展的过程就是简单化的过程。

笛卡尔想到了用长度来表示连续量,进而创造了坐标系这样的神器,真是天才。连续量很多,用长度来表示,就可以很容易的分割,比较,合并。两个连续量的关系,就可以形成坐标系中的曲线。

分数与小数和整数有一处不一样的地方,同样的一个量的分数,其表现形式可以有无数种,即分子和分母同时乘或除相同的数,并不会改变它所代表的量。因此,我们在比较不同分数的大小时,会通分,即将分母变成一样的,然后比较分子的大小即可。进行分数加减运算的时候,也是要讲分母进行通分后才能顺利进行。

乘法最初的含义是加法的扩展,在有分数的时候,乘法的含义被扩展了,乘一个分数,等于乘分子除分母,分数本身自带一个除法。数学相当严禁,也足够灵活。从此,乘法不再是增大,乘法也可能变小。

除以一个分数应该如何理解呢?包含分割。(除以整数,我们可以采用水平分割的思想,就是分成多少份)举个包含分割的例子:将一段3米长的铁丝,按1/5米分割,能够分成多少段。这样就能够理解除一个分数,等于除分子再乘分母。从此,除法不再是减少,还可以变大。

分数可以考虑成单位量是余量的多少倍,而小数则是将单位量分成10份,100份。。。余量占多少份。小数就是用10,100,100.。。特殊的数作为分母的分数。今天的十进制小数,是16世纪欧洲发明的。古希腊的欧几里特是不懂小数的。

有限小数写成分数很容易,分母就是10的倍数。而把分数写成小数,就要做除法。分数变成小数,不是有限小数,就是无限循环小数!因此,分数的表达力我觉得是强于小数的!将循环小数转化为分数,就需要一点技巧,有一个方法是用\(\frac{1}{9}\),\(\frac{1}{99}\),\(\frac{1}{999}\) ......作为分母,然后根据具体的循环部分来搞定分子。

无限不循环的小数,无法写成分数,叫做无理数。例如e

纯数学世界,都是数字,但是如果是现实世界,量都是有单位的。乘除法会产生新的量,而加减法不会,比如长度乘长度等于面积,面积就是新的量,而长度和面积做加减,没有意义。我觉得就是因为乘除法会产生新的量,因此先乘除后加减!

牛顿观察到的:从自然数的乘法规则中,仅靠推理是导不出分数乘分数的规则的。数学是高度的抽象,但是最基本的计算规则,还是来自实践。

第3章,数的反义词

0不是正数,也不是负数,就是0。(0属于自然数

《沉思录》中有一句话:我了解不理解从0减去4等于0的那些人。

负负得正的规则,跟分数乘法规则一样,不是推导出来的,是无数事实总结出来的。(当这些最基本的计算规则都确定了之后,现实世界的问题就统统要转换成符合这些规则的表达方式)

有理数的域:分数(含无限循环小数)是有理数,加上正负整数,在它们之间无限次的加减乘除,得到的还是有理数。

(我们现在认为理所当然的东西,都经历过漫长的发展,以后未来的人认为理所当然的东西,就由我们在这里苦苦求索)

第4章,代数----灵活的算术

代数是算术的普遍形式。(机器能有抽象能力吗?)

交换律:

\(a+b=b+a\),\(ab=ba\)

结合律:

\((a+b)+c=a+(b+c)\),\((ab)c=a(bc)\)

分配率:

\((a+b)c=ac+bc\)

代数学的重要任务之一,就是解方程。而移项是方程变换中最重要的规律。

阿拉伯数学家阿尔.科瓦利兹米(约780-850),把移项叫做al-jabr,因此这个al-jabr就成了现在的algebra,代数学就是所谓的移项学。

算术是直接计算,方程式因为需要移项,就是反正在计算。

把代数称为灵活的算术,是爱因斯坦的一位当工程师的叔叔说的。

书中对线性代数中的向量和矩阵的计算的描述,让我有一种感觉,矩阵的计算是为了简化计算,浓缩数学表达式,让矩阵计算的表达力变得很强!两个矩阵的加减,可以理解为一组量的加减同时计算,矩阵的乘法,可以看成是在组合计算一些值。在解一组联立方程的时候,矩阵和向量的表达方式,简介有力!而且还能简化计算过程。(这有点想语义变现力很强的python)拉普拉斯说过一句话:在数学上发明了优越的符号,就意味着成功了一半。

注意一个细节,两个不为0的矩阵相乘,结果可能是0矩阵。

第5章,图形的科学

中世纪欧洲,古登堡(1400-1468)制造了最早的活字印刷机,最早印刷的书是《圣经》,然后是欧几里得的《几何原本》。这两本书代表了欧洲文化的两大支柱。

《圣经》是信仰,而《几何原本》则是思维方式。

点(没有大小不可再分),线(没有宽度),角构成了图形的原子。

分析,把复杂的东西分割成简单的单位进行研究,就是分析。这是很重要的一个思维方式。分析之后还要综合。(计算机的层次化思维方式,越到底层就越细分,上层都是底层的某种综合)

公理,比如两点确定一条直线,就像是最最简单的无需言明的常识;而定理,则需要通过公理和逻辑推演出来。公理+逻辑推演=定理,这也是整个数学的思维方式。(概念是逻辑的起点,概念就像公理一样,定义概念是非常重要的权力)任何需要多人对话的文明,都需要在对话者之间,有共同的基础,这个基础就是公理,就是概念。

从最简单的事实,推导出复杂的难易置信的结果。

逻辑的路径不止一条:直接证明,反证,倒推,归纳。

第6章,圆的世界

圆和直线,似乎是最完美最简单的两个图形。由圆和直线,可以组合成各式各样的形状(但不是所有),中世界哥特式建筑,主要就是圆和直线。画出圆和直线所需要的工具,也是最简单最容易制作的。哥白尼的日心说,认为天体的轨道是圆;一个世纪后的开普勒才认识到了椭圆。而建筑风格也在朝向椭圆的方向发展。

古希腊的柏拉图推崇只是用直线和圆作图,认为只有直线和圆是神圣的,其它形状都是丑陋的。由于柏拉图的影响力,在当时也就限制了其它作图工具的发展和使用。

本章提到了无理数的发现。历史不会简单的重复,每当一个全新的东西被发现发明,由于不同相关方的利益冲突,总会掀起一些波澜。无理数的发现被称为第一次数学危机,其否定了毕达哥拉斯学派的万物皆是数的思想。

无理数和有理数一样,普遍存在,研究一下数轴就明白了。实数=有理数+无理数。

第7章,复数--最后的乐章

 

 

 

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《《数学与生活》读书笔记》有1条留言

  • 麦新杰

    东方文化的支柱是什么:四书五经,中医...? []


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