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《数学与生活》读书笔记

2020年5月9日 / 1,289次阅读
老男孩学数学

《数学与生活》这本书的作者是日本人,远山启,因此我就直接看中文版的了。读书记笔记的好处,笔记可以起到非常好的refresh memory的效果。这本书很早就有,也有多个翻译的版本,不同版本的中文名也不全相同。

第1章,数的幼年期

人类的数学知识,是从数数开始的。我相信必须要数数,也是当时生活所迫。

远古时期,数数似乎是件挺困难的事情。历史上出现过许多不同的进制(当时的人还不太能意识到进制这个概念),好几种不同的计数方法。

文明的消亡在远古时期就是家常便饭,一同消亡的还有文明特有的数数和计数的方式。一般都是有先进数数和计数方式的文明,能够战胜不够先进的甚至还不能数数的文明。所以,最后流传下来的数学知识都是比较先进的,而这些先进的方法,本质上就是最简单的方法。比如用手指的数量来计数而形成的5进制或10进制。

古罗马的计数系统不是基于位置的,而是很像古埃及的计数,与位置无关,只需要加总求和。古巴比伦的计数系统就是基于位置的系统,但是远没有现在的计数系统那么简洁明了,估计也是技术手段达不到,他们当时只能在泥板上刻。不清楚是不是古巴比伦的基于位置的计数系统传到了印度,被印度人发扬光大,然后据说是在13世纪初期,又被阿拉伯商人引入欧洲,最后成为一统天下的基于位置的10进制计数系统。

因为,这套基于位置的10进制计数系统,足够简单,也非常强大,能够表示任意数字。

有了这套最底层计数系统工具,之后的数学发展突飞猛进,进而也让其它科学得以发生发展。

基于位置的进位计数系统,不仅仅可以用于10进制,它可以用于任意进制。比如2进制,计算机能够实现复杂计算,也得益于这套基于位置的2进制计数系统。

我们现在把这套最先进的计数系统,在幼儿园时期就教会给了小朋友,他们会认为用这种方式是自然而然,理所当然。其实,人类是经过了漫长的(被动)努力,才彻底解决了数数和计数的问题。

第2章,离散量和连续量

离散量,是多少个,比如数苹果;离散数学就是专门研究离散量的数学。

连续量,是多少,比如水的多少。

离散量和连续量可以相互转化。连续量的测量,要靠离散的单位量(有许多不同的单位);而离散的几个土豆,也可以全部捣烂成土豆泥并混在一起成为连续的东西。

我在想,比如水,在微观下就是离散的水分子,只是宏观上,我们把它当成连续量来处理。

对连续量的测量,因为有零头存在,就抽象出了小数和分数。在古代,分数的计算是相当复杂繁琐的,因为当时的人们不懂得\(\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\)这样简单的规则。古埃及人甚至发现\(2\div7=\frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68}\),其计算过程更加复杂。从这件事情可以看出,人类思想和技术的发展,一开始大多并不简单,而发展的过程就是简单化的过程。

笛卡尔想到了用长度来表示连续量,进而创造了坐标系这样的神器,真是天才。连续量很多,用长度来表示,就可以很容易的分割,比较,合并。两个连续量的关系,就可以形成坐标系中的曲线。

分数与小数和整数有一处不一样的地方,同样的一个量的分数,其表现形式可以有无数种,即分子和分母同时乘或除相同的数,并不会改变它所代表的量。因此,我们在比较不同分数的大小时,会通分,即将分母变成一样的,然后比较分子的大小即可。进行分数加减运算的时候,也是要讲分母进行通分后才能顺利进行。

乘法最初的含义是加法的扩展,在有分数的时候,乘法的含义被扩展了,乘一个分数,等于乘分子除分母,分数本身自带一个除法。数学相当严禁,也足够灵活。从此,乘法不再是增大,乘法也可能变小。

除以一个分数应该如何理解呢?包含分割。(除以整数,我们可以采用水平分割的思想,就是分成多少份)举个包含分割的例子:将一段3米长的铁丝,按1/5米分割,能够分成多少段。这样就能够理解除一个分数,等于除分子再乘分母。从此,除法不再是减少,还可以变大。

分数可以考虑成单位量是余量的多少倍,而小数则是将单位量分成10份,100份。。。余量占多少份。小数就是用10,100,100.。。特殊的数作为分母的分数。今天的十进制小数,是16世纪欧洲发明的。古希腊的欧几里特是不懂小数的。

有限小数写成分数很容易,分母就是10的倍数。而把分数写成小数,就要做除法。分数变成小数,不是有限小数,就是无限循环小数!因此,分数的表达力我觉得是强于小数的!将循环小数转化为分数,就需要一点技巧,有一个方法是用\(\frac{1}{9}\),\(\frac{1}{99}\),\(\frac{1}{999}\) ......作为分母,然后根据具体的循环部分来搞定分子。

无限不循环的小数,无法写成分数,叫做无理数。例如e

纯数学世界,都是数字,但是如果是现实世界,量都是有单位的。乘除法会产生新的量,而加减法不会,比如长度乘长度等于面积,面积就是新的量,而长度和面积做加减,没有意义。我觉得就是因为乘除法会产生新的量,因此先乘除后加减!

牛顿观察到的:从自然数的乘法规则中,仅靠推理是导不出分数乘分数的规则的。数学是高度的抽象,但是最基本的计算规则,还是来自实践。

第3章,数的反义词

0不是正数,也不是负数,就是0。(0属于自然数

《沉思录》中有一句话:我了解不理解从0减去4等于0的那些人。

负负得正的规则,跟分数乘法规则一样,不是推导出来的,是无数事实总结出来的。(当这些最基本的计算规则都确定了之后,现实世界的问题就统统要转换成符合这些规则的表达方式)

有理数的域:分数(含无限循环小数)是有理数,加上正负整数,在它们之间无限次的加减乘除,得到的还是有理数。

(我们现在认为理所当然的东西,都经历过漫长的发展,以后未来的人认为理所当然的东西,就由我们在这里苦苦求索)

第4章,代数----灵活的算术

代数是算术的普遍形式。(机器能有抽象能力吗?)

交换律:

\(a+b=b+a\),\(ab=ba\)

结合律:

\((a+b)+c=a+(b+c)\),\((ab)c=a(bc)\)

分配率:

\((a+b)c=ac+bc\)

代数学的重要任务之一,就是解方程。而移项是方程变换中最重要的规律。

阿拉伯数学家阿尔.科瓦利兹米(约780-850),把移项叫做al-jabr,因此这个al-jabr就成了现在的algebra,代数学就是所谓的移项学。(代数的历史

算术是直接计算,方程式因为需要移项,就是反正在计算。

把代数称为灵活的算术,是爱因斯坦的一位当工程师的叔叔说的。

书中对线性代数中的向量和矩阵的计算的描述,让我有一种感觉,矩阵的计算是为了简化计算,浓缩数学表达式,让矩阵计算的表达力变得很强!两个矩阵的加减,可以理解为一组量的加减同时计算,矩阵的乘法,可以看成是在组合计算一些值。在解一组联立方程的时候,矩阵和向量的表达方式,简洁有力!而且还能简化计算过程(这有点像语义表现力很强的python)。拉普拉斯说过一句话:在数学上发明了优越的符号,就意味着成功了一半。

注意一个细节,两个不为0的矩阵相乘,结果可能是0矩阵。

第5章,图形的科学

中世纪欧洲,古登堡(1400-1468)制造了最早的活字印刷机,最早印刷的书是《圣经》,然后是欧几里得的《几何原本》。这两本书代表了欧洲文化的两大支柱。

《圣经》是信仰,而《几何原本》则是思维方式。

点(没有大小不可再分),线(没有宽度),角构成了图形的原子。

分析,把复杂的东西分割成简单的单位进行研究,就是分析。这是很重要的一个思维方式。分析之后还要综合。(计算机的层次化思维方式,越到底层就越细分,上层都是底层的某种综合)

公理,比如两点确定一条直线,就像是最最简单的无需言明的常识;而定理,则需要通过公理和逻辑推演出来。公理+逻辑推演=定理,这也是整个数学的思维方式。(概念是逻辑的起点,概念就像公理一样,定义概念是非常重要的权力)任何需要多人对话的文明,都需要在对话者之间,有共同的基础,这个基础就是公理,就是概念。

从最简单的事实,推导出复杂的难易置信的结果。

逻辑的路径不止一条:直接证明,反证,倒推,归纳。

第6章,圆的世界

圆和直线,似乎是最完美最简单的两个图形。由圆和直线,可以组合成各式各样的形状(但不是所有),中世界哥特式建筑,主要就是圆和直线。画出圆和直线所需要的工具,也是最简单最容易制作的。哥白尼的日心说,认为天体的轨道是圆;一个世纪后的开普勒才认识到了椭圆。而建筑风格也在朝向椭圆的方向发展。

古希腊的柏拉图推崇只是用直线和圆作图,认为只有直线和圆是神圣的,其它形状都是丑陋的。由于柏拉图的影响力,在当时也就限制了其它作图工具的发展和使用。

本章提到了无理数的发现。历史不会简单的重复,每当一个全新的东西被发现发明,由于不同相关方的利益冲突,总会掀起一些波澜。无理数的发现被称为第一次数学危机,其否定了毕达哥拉斯学派的万物皆是数的思想。

无理数和有理数一样,普遍存在,研究一下数轴就明白了。实数=有理数+无理数。

第7章,复数--最后的乐章

这一章从二次方程的求解开始。

在面对现实问题的时候,代数是慷慨的,二次方程的2个解,往往那个负数解与现实不能对应,是免费送的。

在实数域没有解的时候,数学家又开始创造新的数,这就是虚数。数学家不喜欢例外。

实数+实数i = 复数,\(i^2=-1\),复数可以用平面上的点来表示,这个平面也叫高斯平面,但最先想到用平台来表示复数的,是比高斯还早100面左右的测量工程师韦塞尔。

数的绝对值是用|x|来表示,向量的长度,用||v||表示,很相似!他们的含义,都是距离O点的距离。所以,数值和(向量)长度是同一个概念。

有了复数之后,所有代数方程都有了解。

复数的加减,以及与实数相乘,规律都与二位向量一致。\(\times\)i,在复数平面上相当于逆时针转动90度。

复数的乘除,与向量的点乘(dot product)是不一样的!复数的乘法可以理解为两个复数的长度相乘,然后再旋转一个角度,其结果很可能还是一个复数。而向量的dot product,结果就是一个数。(Python中可直接进行复数运算

二次方程的两个复数根,以实数轴为中心线对称,共轭!(是不是有共同的实数部分的复数)

由于乘复数带有旋转的含义,作者用求解正多边形的作图,引入多次方程。

三次方程求解公式比较复杂,而且有一个情况,就是在计算过程中,会出现复数,但是最后的解却都是实数。代数如果没有虚数,看起来是不完整的。

解方程式四则运算的逆运算

解方程式四则运算的逆运算

我们可以把解方程看做四则运算的逆运算,逆运算一般都是比较难的。而在进行这个逆运算的过程中,只是用实数是不够的,遇到负数开方就没辙了,因此引入了新的虚数。

代数学的基本定理,在高斯20岁的毕业论文中得到证明。在复数域内,任何方程的根的个数与最高次数相等,即一定有根,根的数量与最高次数相同。

第8章,数的魔术与科学

从小到大接触到过很多数字魔术,基本都是一些整数间有趣的关系,这样的事情从古希腊时期就开始了,有一些渐渐成为科学研究的对象。

完全数,数=它所有约数之和,6,28,496,8218.........

又是高斯发明的恒等式:\(a \equiv b \ (mod \ 3)\)

这个恒等式的含义是:a和b做模3的运算,结果恒等。这里面有一个细节一定要理解,模运算的结果一定是0到模数之间,比如mod 3,结果一定是0,1,2之中。(参考python中的模运算

古时人们用mod这种思想来对事物进行分类。(模运算的结果能否直接被成为余数?反正书中是这么说的。)

已经不记得是什么时候天天在学的东西了:最小公倍数,最大公约数。没有最大的公倍数,最小公约数是1也无意义。

加法世界的原子是1,乘法世界的原子是素数,不幸的是,素数由无限多个。

与素数对应的是合数,合数的素数分解具有唯一性!用这个唯一性定义,还能证明某个数是无理数。

第9章,变化的语言----函数

算术和几何是不变的,代数的解方程也是不变的,从函数开始,数学开始动了起来。把代数中的字母看作是变动的数,从笛卡尔开始。

这一章提到了数学家更像画家和诗人,但我却没啥笔记要做,似乎我对函数的熟悉程度超过前面所有章节。

第10章,无穷的算术----极限

一段有限长度的线段中有无穷个点。

运动一旦开始,无穷的现象就必然出现。书中说古希腊的人都想逃避掩盖无穷的问题,包括欧几里得。

步行者追赶乌龟的问题,产生了一个收敛的无穷级数,从这个角度去理解无穷和级数。

伯努利《论无穷级数》

伯努利《论无穷级数》

当把有限个数相加时,无论如何变换有限个数的顺序,结果都不变。但,无限个数相加时,这条规则就不成立。柯西观察到,只要按照原有的顺序计算,无穷的悖论就不会产生。柯西还注意到,无穷级数的和是可以不存在的!

算术和代数,没有变化和运动;而微积分中提出了变化和运动,极限的计算就成了并列于加减乘除的一种重要的运算。

柯西

柯西

收敛有速度快慢之分,也有不同的形式。有的从左边,有的从右边,有的来回摆动。

当lim求极限加入到四则运算之后:

极限运算与四则运算的关系

极限运算与四则运算的关系

第11章,伸缩与旋转

本章从复利开始,引出指数。用指数来表示非常大和非常小的数,是非常方便的。

数学就是一种符号语言。而指数这种符号很精妙,指数部分可以是正数,负数,还可以是分数,甚至无理数,总之,数学家不喜欢例外。(就像编写一个通用的 def function)

有了指数,接着就是对数,然后三角函数也有介绍,这是微积分的函数基础部分。

余弦定理:

余弦定理

余弦定理

当C=90度时,这就是勾股定理。因此余弦定理有更好的普遍性。

正弦定理:

两点确定一套直线,(非同一直线上的)三点确定一个圆!

正弦定理

正弦定理

(以前是怎么学习的,竟然对这两个定理如此陌生)

正弦定理和余弦定理都是三角形角度和边长的关系,而海伦公式就是三角形边长和面积的关系。

海伦公式:

海伦公式

海伦公式

用海伦公式来求三角形的面积,就不需要去求三角形的高了。

这部分最后介绍了欧拉公式,看不懂呀......

第12章,分析的方法--微分

牛顿是物理学家。

第13章,综合的方法--积分

在微积分出现之前,人们计算由曲线围成的面积,是很费劲的。

积分的方法,基本思路,就是分段,比如分成n段,每一段就好办了,然后把每一段加起来,然后n-->无穷。

积分的符号,就是拉长了的求和符号,都是S的变体。

这种无限细分(微分)再加总(积分)的思维方式,从阿基米德时代就有了。而之所以说牛顿和莱布尼茨发明了微积分,是因为他们发现微分和积分互为逆运算。

第14章,微观世界--微分方程

方程不是函数,方程是等式,满足等式条件的变量之间的完整的关系说明,这种关系不一定是函数关系。

微分方程,就是等式中含有微分,即除了有变量,还有变量间的微分关系。

数学讲究的是思维方式,再辅以计算手段......数学符号就是用来表达思维的有力工具,再经过演算,常常得出惊人的结论。数学是朴实的。

本文链接:https://www.maixj.net/misc/shuxue-shenghuo-23630

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留言区

《《数学与生活》读书笔记》有4条留言

  • 麦新杰

    微分,一阶导数:the best constant approximation of the rate of change! []

  • 麦新杰

    不要用加不完来理解无穷级数,而是去想一口气把无穷多个数加完!计算无穷,要超越无穷。 []

    • 麦新杰

      有可能没有结果,发散。 []

  • 麦新杰

    东方文化的支柱是什么:四书五经,中医...? []


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