线性关系

线性关系可能是两个相关的元素（变量）之间最简单的关系了。

所谓线性关系，我们还有一些其它的词来形容这样的关系，线性函数，线性变换。。。。

线性，linear，就是直线的意思；线性关系，在二维空间中，就是直线关系，在三维空间中，就是平面关系，在更高维空间中，谁知道是什么。。。

线性关系，就是函数中，自变量的coefficient（系数）是一个常量，因变量按照固定的变化率跟着变化。

比如：\(y=f(x)=mx+b\)

m就是slope（斜率），x与y的变化比例就是这个slope。而这个函数在图形，就是一条直线。

比如：\(z=g(x,y)=mx+ny+b\)

这是一个平面，z的变化与x和y都有关系，但是x和y都是常数作为系数，z在每一个方向上的变化，都是线性变化，因此这也是线性关系。

在计算微分的时候就能看出来，不管是在多少维度的空间，不管有多少变量，如果针对每一个偏导数都是一个常量（在一个具体的点上），微分表达式，就是一个线性关系的表达式。反过来看，如果变量都是一次的，在计算偏导数的时候，就只会剩下它的系数，将点的坐标代入去计算，就得到这个点的在某个方向上的偏导数。所以，变量都是一次的表达式，不管有多少个变量，因变量在他们各个方向上的变化率都是常量，这样他们与因变量的关系都是线性关系。

在任意一个方向上的偏导数都是常数的函数，一定是线性的。

我是这样简单地理解线性关系的。

平滑函数不一定是线性的，但是线性是异性特殊形式的平滑。

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