极值点，最值点，驻点，拐点

极值点，最值点，驻点和拐点，都是微积分中的概念。

注意：分段函数也是一个函数，分段函数并不是多个函数。

极值点

极值的定义从x点的某领域展开，在这个领域内，f(x)的值总是大于等于其它值，或者小于等于其它值，x点就是一个极值点；

在极值的定义中，并没有约定极值点一定是函数的连续点；

在极值的定义中，存在等于符号，这表示如果在x的某领域内，函数是一个常数函数，x也是一个极值点；这时，x既是极大值，也是极小值；

在某区间，函数如果严格单增单减，没有极值点；

极值点的存在，一定需要某领域，领域意味着这个点左右两边还有一块定义域；

极值点可以可导，也可以不可导，没关系；

如果极值点可导，其导数等于零。

极值点的第一充分条件

函数在点x处连续，在x的某去心领域内可导，如果导数在x点左右领域内反号，即一正一负（不能等于零），x比为极值点。

至于是极大值点还是极小值点，看看左右两边导数的正负情况。

x点处连续可导，x点是极值点，但是不能推导出x点左右领域导数反号；左右导数反号只是一个充分条件，并不是必要条件。

极值点的第二充分条件

x点二阶可导，x一阶导数等于零，x二阶导数不等于零：

二阶导数大于零，x为极小值；

二阶导数小于零，x为极大值；

这也只是个极值的充分条件。

最值点

最值就是最大值和最小值；在定义中，最值的比较有等号；

取到最值的点，就是最值点，定义中并没有约定最值点一定是函数的连续点；

根据我们讨论最值的区间，有的时候，可以没有最值点；（极值点和最值点可以同时不存在，比如在无穷区间单增单减的函数）

最值点可能是极值点，也可能是闭区间的端点；

如果最值点的取得不再闭区间的端电上，这个最值点同时也是一个极值点；

最值点可以可导，也可以不可导，没关系；

如果最值点可导，最值点如果不取区间端点，其导数和极值点一样，等于零；如果最值点去区间端点处，函数在此点只是单侧可导，导数不一定等于零。

驻点

驻点，也叫稳定点或临界点；

驻点的定义是函数一阶导数等于零的点；

从驻点的定义可以看出，驻点一定是一个可导点，并且导数等于零，因此驻点一定是函数的连续点；

极值点和最值点都有可能是驻点，在这些点都可导的时候。

拐点

函数f(x)的凹凸弧分界点，称为拐点，这就是拐点的定义；

区间内函数二阶导数大于零，就是凹；

区间内函数二阶导数小于零，就是凸；

拐点判定的充分条件

x点连续，在x点的某去心领域内二阶可导，x点左右领域二阶导数反号，则x为拐点。

可导拐点的必要条件

x是函数f(x)的拐点，如果x点二阶可导，则x点的二阶导数等于零。

这时，如果要分析x点左右的凹凸性，可以使用x点的三阶导数的值的正负号来判断，原理就是用导数的定义写出x点的三阶导数的表达式，一看就明白了。

从非数学符号来说明这些定义，要说很多话，也没有符号定义的那么严谨精炼，但是却能够把很多细节描述出来，加深理解。

总结：

1， 极值点，最值点，拐点都可以是不可导点；（导数等于无穷的点，但是可以是拐点，想象两个半圆的连接）

2， 只有驻点是必须要求可导的；

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