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用行列式直接写出联立方程的解

2016年11月13日 / 261次阅读
老男孩学数学

线性代数是最容易算晕掉的数学，密密麻麻，很容易算错。需要始终记住：线性代数是从求解联立的多元一次方程中发展而来的。对于n元一次方程，并且有n个方程表达式，我们可以直接用行列式的表达式来写出方程的每一个解。这样，剩下的事情，就是求行列式的值了。

先来看看使用传统的消元法解方程的过程：

2元一次联立方程，2个方程式

我们按照正常消元法来求解，因为只有两个未知数，这个计算量可以承受，如下图：

用消元法计算2元一次联立方程

但是如果是下面这个3元一次联立方程，有3个方程式的情况，使用消元法就要搞死人了。

所以，我们可以直接采用行列式的方法：

3元一次联立方程，3个方程式

直接写出三个解：

直接写出解的行列式表达式

注意规律：计算x1，就是用b1b2b3去替换系数矩阵中x1的那一列系数；同样，计算x2，就是用b1b2b3去替换系数矩阵中x2的那一列系数；以此类推。

这个方法对于解上面2元一次联立方程也是可以的。

如果作为分母的那个行列式等于0，这个情况表示什么？

几个细节：

1，二阶行列式可以直接计算：

二阶行列式的计算

2，只有方阵才能计算行列式。

行列式的定义和计算规律，在教材中不加证明直接给出，其实是因为证明的过程也是密密麻麻太复杂，出版商估计也不好搞这几页的编排。这个时候，就需要相信了，肯定是正确的，看看2元一次联立方程的求解，那是最简单的过程，复杂的过程我们也会，只是需要很多纸和很多的耐心，以及一些技巧。

2017-03-21：

本文所述其实就是克拉默（Cramer）法则。

克拉默法则的证明其实不难，就是通过使用伴随矩阵发求系数矩阵的逆矩阵。

补充一点内容：如果b1,b2...bn全是0，我们称其为n元齐次方程组，否则就是n元非齐次方程组；n元齐次方程组一定有零解（x1=x2=...xn=0），如果系数矩阵（记为A）的行列式不为零，即detA不等于0，则方程组只有零解；如果方程组存在非零解，detA一定等于0。

本文链接：https://www.maixj.net/misc/hanglieshi-lianli-fangcheng-13571

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