向量组的线性相关，无关，共线和共面
2017年3月26日 / 2,359次阅读
老男孩学数学
关于向量组，有几个概念需要搞清楚：线性相关，线性无关，共线和共面。
线性相关的定义是：
有一组不全为0的数，去分别乘以一组向量，结果为0；
线性无关的定义是：
找不到一组不全为0 的数，去分别乘以一组向量，结果为0；
一组向量的关系，要么相关，要么无关。
共线和共面是特殊情况。
如果2维空间，可以想象，2个向量共线就是这两个向量在一条直线上，并且这条直线通过0点；3个向量如果满足平行四边形法则，就是共面，此面包含0点。
如果是3维空间，可以想象，2个向量共线，跟在2维空间一样，一条经过0点的直线；2个向量共面，就是这两个向量平行；3个向量如果满足平行四边形法则，就是共面，跟2维空间一样，3维空间中的这个面包含0点。
高维空间就无法直观表示，只能通过线性相关和无关的定义来确定。
也可以说，共线和共面等同于线性相关。
还有一种说法：
一组向量如果线性相关，则其中至少有一个向量能够被其它向量线性表示出来，至少有一个，实际情况还可能是多个，那么，可以说，这一组向量中有多余的向量。
一组向量如果线性无关，则其中任何一个向量都不能够被其它向量线性表出，任何一个都不能，那么，可以说，这一组向量没有多余的向量。
一组向量的极大线性无关组，就是去掉所有“多余”向量之后，剩下的一组线性无关的向量。
如果一个向量可以被一组向量线性表示，如果这一组向量是线性相关的，表示的方法可以无限多个，如果这一组向量是线性无关的，只有唯一一种表示方法。
线性相关，即在某种程度或某个层面上成比例；
线性无关，即在任何程度或任何层面上都不成比例。
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向量用坐标表示可能更容易理解 []
是的，不过用几何方式表示，最多也就到3维。 []