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抽象代数简介

2020年10月18日 / 4次阅读
老男孩学数学

抽象代数又称近世代数,它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换等,这些物集分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。抽象代数,包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件,他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。同时这种理论对物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大影响。

1843 年,哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数――四元数。第二年Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年,Cayley设计出另一种不可交换的代数――矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数的大门。实际上,减弱或删去普通代数的某些假定,或将某些假定代之以别的假定,就能研究出许多种代数体系。

1870年,克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义:狄德金开始使用“体”的说法,并研究了代数体:1893年,韦伯定义了抽象的体:1910年,施坦尼茨展开了体的一般抽象理论:狄德金和克隆尼克创立了环论:1910年,施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究,开创了抽象代数学。

有一位杰出数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是诺特,1882 年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。

诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年,她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题,对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变式问题,给出诺特定理,把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。

1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”。 1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年,她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论,证明了准素分解定理。1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》,给戴德金环一个公理刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数的方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

1927-1935年,诺特研究非变换代数与《非变换算术》。她把表示理论、理想理论及模理论在所谓“超复系”即代数的基础上,后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数。

诺特的思想通过她的学生范`德`瓦尔登的名著《近世代数学》得到广泛的传播。她的主要论文收在《诺特全集》(1982)中。

1930年,毕尔霍夫建立格论,它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后,出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年,嘉当、格洛辛狄克和爱伯克建立了同调代数理论。

到现在为止,数学家们已经研究过200多种这样的代数结构,其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪,它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

现在,我们可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说,但字母的含义是在不断地拓广的。在初等数学中,字母表示数;而在高等代数和抽象代数中,字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说,代数已经发展成为一关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统,因此,代数是研究一般代数系统的一门科学。

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