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芝诺的悖论和解释

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2017年3月14日 / 50次阅读
标签:老男孩学数学

古希腊著名哲学家芝诺(约公元前490年~前425年)曾提出四条著名的悖论,也被如今的数学史界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。

第一,“二分法”

运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半,而在完成行程的一半后,还须完成行程的一半的一半……如此分割,乃至无穷,因而它与目的地之间的距离是无限的,永远也达不到目的地。

第二,“阿基里斯永远追不上乌龟”

阿基里斯是希腊跑得最快的英雄,而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明,在赛跑中最快的永远赶不上最慢的,因为追赶者与被追赶者同时开始运动,而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点,如此类推,他们之间存在着无限的距离,所以被追赶者必定永远领先。

 

第三,“飞矢不动”

任何物体都要占有一定的空间,离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间,在每一瞬间,飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间,由于飞矢始终在自己的空间之中,因而它是静止不动的。

 

  • 芝诺问他的学生 “一支射出的箭是动的还是不动的?”
  • “那还用说,当然是动的。”
  • “确实是这样,在每个人的眼里它都是动的。可是,这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?”
  • “有的,老师。”
  • “在这一瞬间里,它占据的空间和它的体积一样吗?”
  • “有确定的位置,又占据着和自身体积一样大小的空间。”
  • “那么,在这一瞬间里,这支箭是动的,还是不动的?”
  • “不动的,老师”
  • “这一瞬间是不动的,那么其他瞬间呢?”
  • “也是不动的,老师”
  • “所以,射出去的箭是不动的?”

 

第四,“运动场”

有两排物体,大小相同,数目相等,一排从终点排到中间点,另一排从中间点排到起点,当它们以相同的速度作方向相反的运动时,就会在时间上出现矛盾。芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。(没看到这个?)

以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

 

芝诺的四条悖论在后来被亚里士多德等人成功解释完毕。

第一条悖论:

不可能在有限的时间内通过无限多个点,在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半,为此又必须走过一半的一半,等等,直至无穷。

亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误:“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物,或者分别地和无限的事物相接触,须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义。一般地说,一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义:或分起来的无限,或延伸上的无限。因此,一方面,事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触;另一方面,却能和分起来无限的事物相接触,因为时间本身分起来也是无限的。因此,通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的,和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。

第二条悖论:

亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事,这个论证得到的结论是:跑得慢的人不可能被赶上。因此,对这个论证的解决方法也必然是同一个方法,认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的,因为在它领先的时间内是不能被赶上的,但是,如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话,那么它也是可以被赶上的。

第三条悖论:

亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的,因为时间不是由不可分的‘现在’组成的,正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。亚里士多德认为,这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的,如果不肯定这个前提,这个结论是不会出现的。

第四条悖论:

亚里士多德认为,这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间,看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间,事实上这两者是不相等的。

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云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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  • 无限细分和连续被割裂。时间和空间,即可无限细分,同时又是连续的。 [ ]


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