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如果导函数有间断点,原函数是否存在?

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2017年5月14日 / 37次阅读
标签:老男孩学数学

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如果导函数有间断点,原函数是否存在?

我们直接给出结论:

1, 如果导函数存在可去间断点,跳跃间断点,或无穷间断点,则不存在原函数;

2, 如果导函数存在震荡间断点,则可能存在原函数。

 

因此,我们知道,函数的间断点一共有4种

第一类间断点:可去间断点,跳跃间断点;

第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点。

 

什么是震荡间断点?

震荡间断点

震荡间断点

在x=0的领域内,函数图形不可想象。

 

如果导函数存在震荡间断点,则可能存在原函数。

首先要明确一个知识点:分段函数是一个函数,不是多个函数。

下面这个函数(最好记住这个非常典型的函数)在x=0处可导,其导函数在x=0点是震荡间断点:

\(f(x) =
\begin{cases}
x^2\sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\
0, & x = 0 \\
\end{cases}\)

这个函数在x=0处可导,其导函数以及导函数的函数图像如下图:

导函数存在震荡间断点的实例

导函数存在震荡间断点的实例

 

因此,我们可以得到这个结论:

函数可导,但导函数不一定连续;导函数在闭区间连续,必存在原函数。

 

我们还可以构造一些其它的更复杂的函数,使其导函数存在震荡间断点,关于本文内存,更复杂的推导和计算,请移步:http://www.matongxue.com/madocs/207.html

 

在微积分定理中,还有这样一部分内容:

如果一函数在某区间内可积,则此函数的变限函数在此区间上连续;

如果一函数在某区间连续(连续一定可积),则此函数对应的原函数(一定存在)在此区间连续可导。

怎么理解呢:

在某区间内可积,不一定连续,还可以有间断点;这些间断点的存在,导致的不存在原函数,但是我们还是可以写出一个函数,比如:

\(F(x)=\int_a^x f(x)dx\)

注意这不是原函数,但是这个函数是连续的。我们可以想象这个函数连续,但是由于\(f(x)\)有间断点,导致其曲线有菱角,所以在整个区间不可导,所以不能称之为原函数。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/yuanhanshu-jianduandian-15270
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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