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三角函数诱导公式的理解和记忆

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2016年3月17日 / 53次阅读 / 2条评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2016-11-04 10:56:31

7788 / 2016年3月17日 / 53次阅读 / 标签:老男孩学数学  


三角函数诱导公式的理解和记忆

先来搞清楚什么是三角函数的诱导公式?

诱导公式是指三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性,转换为角度比较小的三角函数的公式。

三角函数都是周期函数,而且都有2π周期(tan和cot的最小周期是π),所以任何大于2π的角度,都可以通过增加或者减少2π的倍数,将计算角度缩小在正2π范围内。于是,有了如下最简单的一组诱导函数:

三角函数都是周期函数,而且都是以2π为周期

三角函数都是周期函数,而且都有以2π为周期

用LaTeX语法+MathJax数学公式网页渲染引擎再写一遍:

$$\sin(2k\pi + \alpha) = \sin \alpha (k \in Z)$$

$$\cos(2k\pi + \alpha) = \cos \alpha (k \in Z)$$

$$\tan(2k\pi + \alpha) = \tan \alpha (k \in Z)$$

$$\cot(2k\pi + \alpha) = \cot \alpha (k \in Z)$$

$$\sec(2k\pi + \alpha) =\ sec \alpha (k \in Z)$$

$$\csc(2k\pi + \alpha) =\csc \alpha (k \in Z)$$

 

通过以上一组诱导公式,可以将角度控制在2π以内。然后,在2π以内,我们就要用到著名的诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限。

对于 \( {\frac {k\pi}{2}} \pm \alpha (k \in Z) \) 的三角函数值:

1, 当 \(k\) 是偶数时,得到 \(\alpha\) 的同名函数值,即函数名不改变;

2, 当 \(k\) 是奇数时,得到 \(\alpha\) 相应的余函数值,即 \(\sin \to \cos ; \cos \to \sin \) ;奇变偶不变,变与不变的都是函数,然后在前面加上把 \(\alpha\) 看成锐角(大于0°而小于90°直角的角)时原函数值的符号(符号看象限,只需要记住 \(\sin\) 是1,2象限为正,\(\cos\)  是1,4象限为正即可,记忆方法就是画出函数曲线图);

3, 当k为负整数的时候,比如 \(\sin(a-\frac{\pi}{2})\) ,可以直接通过增加 \(2\pi\) 的方式,将 \(\frac{\pi}{2}\) 的倍数转变为正数;例如本例,增加 \(2\pi\) ,将表达式变为 \(\sin(a+\frac{3\pi}{2})\) 。

例如:

\(\sin (2\pi - \alpha) = \sin (\frac {4\pi}{2} - \alpha) \) ,\(k = 4\) ,偶数倍 \(\frac {\pi}{2}\) ,所以取 \(\sin\) ;

当 \(\alpha\) 是锐角时,\(2\pi - \alpha \in (270^\circ,360^\circ)\) ,在第4象限,\( \sin(2\pi - \alpha) \lt 0 \) ,所以取符号为“-”;

所以 \( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha \) 。

 

 

还有一组诱导公式,可以通过三角函数的奇偶性来理解和记忆。正弦\(\sin\)是奇函数,而余弦\(\cos\)是偶函数,于是:

$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$$

$$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$$

$$\tan(-\alpha) = \frac {\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = -\tan\alpha$$

$$\cot(-\alpha) = \frac {\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} = -\cot\alpha$$

$$\sec(-\alpha) = \frac {1}{\cos(-\alpha)} = \sec\alpha$$

$$\csc(-\alpha) = \frac {1}{\sin(-\alpha)} = -\csc\alpha$$

 

练习一下LaTeX语法对齐等号的特性,MathJax支持:

$$\begin{align}
\sin(-\alpha) &= -\sin\alpha \\
\cos(-\alpha) &= \cos(\alpha) \\
\tan(-\alpha) &= \frac {\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = -\tan\alpha \\
\cot(-\alpha) &= \frac {\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} = -\cot\alpha \\
\sec(-\alpha) &= \frac {1}{\cos(-\alpha)} = \sec\alpha \\
\csc(-\alpha) &= \frac {1}{\sin(-\alpha)} = -\csc\alpha
\end{align}$$

 

记忆方法,就是三角函数的周期性和奇偶性,再加上一句口诀!

本文固定链接:http://www.maixj.net/misc/youdaogongshi-11205
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“三角函数诱导公式的理解和记忆”有2条评论

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  • 麦新杰  says:

    减去一个锐角和叫上一个锐角,都适用此口诀。   [ 回复 ]

  • 麦新杰  says:

    看符号时,采用变化之前的(原)三角函数。   [ 回复 ]


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