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n维向量空间的子空间

2017年3月27日 / 363次阅读
老男孩学数学

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我们生活在3维空间,数学家在向量的世界中创造和演绎n维空间,这是一个观念世界无法想象的空间。

一个有趣的话题是:n维向量空间\(R^n\)的子空间。

 

n维向量空间\(R^n\)的子空间的定义有两个条件:

1, 如果 \(a \in V , b \in V\),而且\(a+b \in V\)

2, \(a \in V , k \in R , ka \in V\)

这时,我们就可以说,V是n维向量空间的一个子空间。

 

我们无法想象子空间V是什么样的,不过,能够想到的是3维空间的子空间。

3维空间的子空间是什么呢?

平面和直线。

同理,2维空间的子空间,就是直线。

同理,\(R^n\)的子空间可能就是一个3维空间。

 

n元齐次线性方程组,如果系数矩阵的秩 \(r(A)=r<n\) ,就存在一个基础解系,这个基础解系构成一个\(R^n\)的子空间,维度是n-r。n-r=3完全有可能。

 

\(R^n\)和它的子空间,只是像虚数一样方便计算,还是确实可能存在。我们存在的空间,难倒是包含在一个更高维度的世界里面的?如果是,这个更高维度的世界,是否还包含其它不同的3维空间?......

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