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向量的长度(模)

2018年4月26日 / 31次阅读
老男孩学数学

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向量的长度,也叫向量的模,定义如下:

向量\(a=(a_1,a_2,...,a_n)\)的长度为:

\(\|a\|=\sqrt{a^Ta}\)

就是自己跟自己的内积然后开根号。

如果\(\|a\|=1\),则称\(a\)为单位向量。

关于单位向量,在二维空间,想象一下(1,0)与(0,1),以及\((\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\),就是一个圈,而在三维空间,单位向量组成以原点为中心的圆。高维空间,我们只能脑补。

关于向量的长度,有如下几个性质:

(1)\(\|a\| \geq 0\),且\(\|a\| = 0\)等价于\(a=0\)

(2)\(\|ka\|=|k|\cdot\|a\|\)

(3)\(|a^Tb| \leq \|a\| \cdot \|b\|\)

\(|a^Tb|\)是两个向量的内积的绝对值。

 

在解析几何中,两个向量的内积可以写成:

\(|a^Tb|=\|a\| \cdot \|b\| \cdot \cos{\theta}\)

\(\theta\)是\(a\)和\(b\)的夹角,\(0 \leq \theta \leq \pi\)。

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