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一阶微分的形式不变性

2018年4月24日 / 114次阅读
老男孩学数学

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微分和导数是不一样的概念。导数表示的是变化率,微分表示的是一小点点的变化。当那个小小的变化趋近于无穷小的时候,就是导数。

一阶微分有一个形式不变性的等式。

设函数 \(y=f(u)\) 可微,则无论\(u\)为自变量还是可微函数: \(u=\varphi (x)\) ,其一阶微分的形式: \(dy=f'(u)du\) 不变。

只有一阶微分有这个特性,二阶就不行了。比如在\(u=g(v)\)的情况下,\(du=g'(v)dv\)。整理一下,可以得到微分的链式法则:

$$\frac{dy}{dv}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dv}$$

(麦新杰故意不用\(x\)的....)

 

复合函数一阶微分的形式不变形,可以用下图来思考体会:

\(y=f(x)=x^2=u\)

\(dy=f'(u)du\)

一阶微分的形式不变形

一阶微分的形式不变形

 

链式法则的一个坑:

链式法则的形式很像是在做乘除法,\(\frac{dy}{dv}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dv}\),看着似乎可以将两个\(du\)消掉,实际上是不行的。

从左往右,第一个\(du\)是函数\(f\)的自变量的微分,第二个\(du\)是函数\(g\)因变量的微分,不同的函数,不同的位置,不同的微分,不能消掉。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/weifen-xingshibubian-17734
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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