关于小悟志网站地图归档友情链接联系Feed

云上小悟 + 

首页 » 7788 »

微分和导数

2014年12月17日 / 176次阅读
老男孩学数学

文章《微分和导数》的特色图片

微积分里面有两个很重要的概念:微分和导数

教材都是先介绍导数,以及导函数的概念和求导数的方法技巧等。导数就是一个相对变化率的概念,导数值是导函数在某一个具体点上面的具体值,一般求解导数,都是在计算导函数的表达式。函数可导必然连续,但是连续函数不一定可导。比如左右导数不相等的,图像有棱角的函数,比如导数等于无穷的点。从图像上看,导数就是函数曲线上的一个点的切线跟x轴形成的角度的正切\(tan\),取值范围是整个y轴。

一个函数可微和可导是等价的。这句话的意思是:可微和可导互为充分必要条件!但是,导数不是微分,导数跟微分不是一个概念。

微分是通过一个近似计算来定义的,利用了极限理论中的无穷小和主部的概念,通过在近似计算中只保留主部,得到微分函数:\(dy = df(x) = f^{'}(x)dx\)。\(f^{'}(x)\) 是 \(f(x)\) 的导函数,可以看出,导数只是微分函数里面的一个参数。 \(dx\) 是有意义的, \(dx\) 表示x的微分,直观地说,就是一个极小的常数,与x的变化无关。微分函数是一个用来计算近似值的表达式,导数是一个重要的参数而已。可微必然可导,可导必然可微。(从图形上来分析,微分的近似计算,其实就是将非线性的一段曲线按照线性的方式近似计算出来。在一段非常小的区间内,曲线和直线的计算结果相近。)

千万不要看到导数计算法则和微分计算法则几乎一样,就想当然地认为导数和微分是一样的,这是错误的!运算法则相同是因为计算微分的主要过程就是求导数。导数运算法则全部都是表达式,微分运算法则里面多出来了一些 \(dx\) 的表示。

导数和微分的不一样,还可以通过微分函数的形式不变性来观察。微分函数的形式不变性表示:一阶微分函数具有形式不变性,但是高阶微分函数就没有这个特性,因为x如果只是中间变量,\(d(dx)\) 就不等于零。

计算导数,不管x是否是中间变量,计算的过程都很直接,\(f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]^{'}\),直接开算,x就是最终变量;

计算微分函数,由于高阶微分没有形式不变性,\(d^{n}y\) 不能直接写成等于 \(f^{(n)}(x)dx^{n}\) ,要考虑x是不是最终的自变量, \(dx\) 还要继续求导的情况。

计算导数,我们只是算出一个导函数,一个纯粹的表达式。

计算微分,本质上我们是在计算近似值 \(dy\) !

 

以上个人总结都是针对一元函数而言的,下面说说多元函数:

一元函数的在某点的导数,只有两个方向,实际上一元函数的导数也可以说是全导数;

在多元函数里面,所谓的偏导数,仅仅只是延x轴,或延y轴的两个方向的导数,所以偏;

在多元函数里面,仅仅只有几个方向的导数存在,并不能说明多元函数连续;

因此,多元函数可微,也可以说是多元函数的全微分,表示多元函数在全方向上都可导,这样多元函数才连续;

教科书中给出了一个判断多元函数可微的充分条件:即多元函数在x轴和y轴的偏导数存在并且连续。

为什么偏导数要存在而且连续?应该是可以证明的,不过,我们可以想想一个反问题,如果函数不连续,是否有原函数?可以参考:如果导函数有间断点,原函数是否存在?

本文链接:http://www.maixj.net/misc/weifen-daoshu-7562
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

相关文章

评论是美德

《微分和导数》有1条评论

无力满足评论实名制,评论对非实名注册用户关闭,有事QQ:1093023102.


前一篇:
后一篇:

栏目精选

云上小悟,麦新杰的独立博客

栏目


©Copyright 麦新杰 Since 2014 云上小悟独立博客版权所有 备案号:苏ICP备14045477号-1。云上小悟网站部分内容来源于网络,转载目的是为了整合信息,收藏学习,服务大家,有些转载内容也难以判断是否有侵权问题,如果侵犯了您的权益,请及时联系站长,我会立即删除。

网站二维码
拍拍贷
go to top