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调和平均数及其应用

7788
2017年10月4日 / 53次阅读
标签:老男孩学数学

调和平均数,Harmonic Average,又称倒数平均数,其计算公式为:

$$\frac{n}{H_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$

计算得到的\(H_n\)就是调和平均数。

将这个计算公式做点变形后,得:

$$(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{H_n})+(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{H_n})+...+(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{H_n})=0$$

调和的含义,只可意会不可言传。。

 

调和平均数的意义和应用场景

有人在知乎上这样解释:调和平均的哲学意义是在一个过程中有多少条平行的路径,经过这些平行的路径后,等效的结果就是调和平均。

电阻并联:电阻A和B并联,这时电流有两个选择,经过电阻A或经过电阻B,这两个路径是平行的,最后的等效结果就调和平均。

电阻并联计算等效电阻,这可能是最经典的调和平均数的例子了。

电阻并联时的等效电阻,就是一个调和平均数

电阻并联时的等效电阻,就是一个调和平均数

 

公务员考试也会考到的等距离平均速度,其实就是调和平均数的问题。

将上述公式简化为只有两个参数的场景,如下:

$$\frac{2}{a}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}$$

\(a\)就是调和平均数。将这个公式变形,得到另一个计算两个参数场景的调和平均数公式:

$$a=\frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2}$$

这个公式就是计算等距离平均速度的公式。

公务员考试,等距离平均速度

公务员考试,等距离平均速度

 

我们继续将两个参数的调和平均数公式变形为如下形式:

$$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a_2}$$

看看,\(\frac{1}{a_1}\),\(\frac{1}{a}\),\(\frac{1}{a_2}\)形成等差数列。

请继续在脑补调和平均数的哲学韵味。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/tiaohe-pingjunshu-16670
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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