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第3次数学危机(集合论)

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2017年2月15日 / 30次阅读
标签:老男孩学数学

为了讲清楚第3次数学危机的来龙去脉,我们首先要说明什么是数学危机。

一般来讲,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看,矛盾是无处不在的、不可避免的,即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾,比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾,例如有穷与无穷,连续与离散,乃至存在与构造,逻辑与直观,具体对象与抽象对象,概念与计算等等。在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。

矛盾的消除,危机的解决,往往给数学带来新的内容,新的进展,甚至引起革命性的变革,这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。

 

罗素悖论通俗版:

1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。

理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:"理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第3次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第3次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。

 

罗素悖论专业版:

英国数学家罗素把集合分成两种:

第一种集合:集合本身不是它的元素,即A ∉A;

第二种集合:集合本身是它的一个元素A∈A,例如一切集合所组成的集合。

那么对于任何一个集合B,不是第一种集合就是第二种集合。

假设第一种集合的全体构成一个集合M,那么M属于第一种集合还是属于第二种集合呢?

如果M属于第一种集合,那么M应该是M的一个元素,即M∈M,但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合,出现矛盾。

如果M属于第二种集合,那么M应该是满足M∈M的关系,这样M又是属于第一种集合矛盾。

以上推理过程所形成的悖论就叫罗素悖论。

 

由于严格的极限理论的建立,数学上的第1次第2次危机已经解决,但极限理论是以实数理论为基础的,而实数理论又是以集合论为基础的,现在集合论又出现了罗素悖论,因而形成了数学史上更大的危机。(第1次数学危机第2次数学危机

从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法。其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。

数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中,集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟。然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样。

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云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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