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第一次数学危机(无理数)

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2016年10月13日 / 36次阅读 / 4条评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2016-10-13 14:48:54

7788 / 2016年10月13日 / 36次阅读 / 标签:老男孩学数学  


第一次数学危机(无理数)

第一次数学危机,是数学史上的一次重要事件,发生于大约公元前400年左右的古希腊时期,自\( \sqrt{2} \) 的发现起,到公元前370年左右,以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派,同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

古代数学家认为,一条直线上的点可以用整数和分数来全部表示,这些都是合理存在的数。

但是,大约在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了:等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约(不能表示成一个分数)。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立,所以被称作了无理数。

希帕索斯正是因为这一数学发现,而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的惩罚。

 

无理数的发现,引起了第一次数学危机。首先,对于全部依靠整数的毕氏哲学,这是一次致命的打击。其次,无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的,因为与直观相反,存在不可通约的线段,即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的,所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上,这样,他们的关于相似形的一般理论也失效了。

“逻辑上的矛盾”是如此之大,以致于有一段时间,他们费了很大的精力将此事保密,不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出,面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约,并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移,无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。

 

第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示(整数之比都必然是有理数)。反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是,几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命,是第一次数学危机的自然产物。

回顾在此以前的各种数学,无非都是“算”,也就是提供算法。即使在古希腊,数学也是从实际出发,应用到实际问题中去的。例如,泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度(使用三角函数)、测量船只离岸距离等等,都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学,并没有经历过这样的危机和革命,也就继续走着以算为主,以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决,希腊数学则走上完全不同的发展道路,形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系,为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

 

什么是不可通约:

“通约”一词的原形,出自数学中分数加减运算时的“通分”与“约分”。即用求“最小公倍数”的方法先使分母不同的两个分数实现“通分”,然后加以计算;接着用求“最大公约数”的方法对繁分数进行“约分”,使其化简。近年来,学术界常引申其意,在表述属性或本质相同的两种事物关系时,便说“两者可以通约”。当然,如果拿分数与平方根在一起相加,这两种属性不同的数学命题因为相互不可通约,这样的命题便不能成立。

本文固定链接:http://www.maixj.net/misc/shuxueweiji-1-13222
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“第一次数学危机(无理数)”有4条评论

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  • 麦新杰  says:

    不可公度量:两个量,比如一个正方形的对角线与边,当它们的比不能表示为一个(整)数与另一个(整)数之比时,它们就是不可公度的。   [ 回复 ]

  • 子风  says:

    一个有趣的事实:无理数比有理数多!   [ 回复 ]

  • 麦新杰  says:

    无理数没有一个单独的字母表示,可以写成:R-Q,即实数集中去掉有理数集剩下的部分,还可以画一个Venn图。   [ 回复 ]

  • […] 小数点后面的一串数字永不循环是可能的,我们把一串数的组合当做一个模式,而在无限的情况下,即这个一串数的个数不确定,模式可以永不重复,具有无限性。无理数的发现诱发了第一次数学危机。 […]   [ 回复 ]


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