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数学期望和方差

7788
2017年10月6日 / 37次阅读
标签:老男孩学数学

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数学期望E(Expectation)

数学期望是概率上的均值。其计算方式是由于随机变量X(概率空间中每个样本点所对应的值,样本点随机变化,此值也随机变化)乘以其对应的概率,然后求和所得。

离散型随机变量的数学期望:

$$E=E(X)=EX=\sum^{\infty}_{i=1}x_i p_i$$

连续性随机变量的数学期望:

$$E=\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx$$

\(f(x)\)是概率密度函数。

随机变量函数的数学期望:

$$Eg(X)=\begin{cases}\sum^{\infty}_{i=1}g(x_i) p_i,&\text{离散型} \\
\int^{+\infty}_{-\infty}g(x)f(x)dx,&\text{连续型} \end{cases}$$

随机变量是样本点的函数,而随机变量函数\(g(x)\)是随机变量的函数,相当于样本点的复合函数。

数学期望有的时候,其计算结果就是算术平均值。不过,从数学概念上来理解,数学期望并不是算术平均值。期望带有预测的含义,这种预测是在概率的基础上进行的。而算术平均值仅仅只是对已经发生的事情求其平均数。

严格的数学定义,一个随机变量的数学期望有可能不存在。

 

方差D(Deviation)

直接上方差的数学公式:

$$D=D(X)=VarX=E(X-EX)^2$$

X是随机变量,其离差\(X-EX\)也是随机变量,平均来看,X的正负离差相互抵消,因为\(E(X-EX)=0\)。

为了考察X对EX的偏离程度,我们必须消除符号的影响,为此,用方差D来衡量X对EX的偏离程度。

标准差(Standard Deviation)就是方差开更号:\(\sqrt{DX}\)

既然有的方差,为何还要搞个标准差出来?

这是因为虽然方差能够很好的表示出随机变量相对它的数学期望的偏离程度,但是方差与随机变量本身的数据的量纲是不一致的,方差适合相互之间的比较分析,而与随机变量本身的比较分析,就不太符合我们的直观思维。于是有了标准差。下面举个例子:

一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布。我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826,即约等于34.2%*2。

 

有的时候,两组数据的数学期望相同,但是方差会不同。

比如\(A={5,5,5}\),\(B={3,5,7}\),假设均匀分布;

显然,\(E(A)=E(B)=5\);

但是\(D(A)=0\),而\(D(B)=2.4\);

这说明,A组数据分布很均匀,B组数据变化比A组要大。

 

以上文字就是对数学期望E和方差D,以及方差这个概念衍生出来的离差和标准差的基本知识总结。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/shuxue-qiwang-fangcha-16715
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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