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实数,有理数,无理数

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2016年3月16日 / 45次阅读
标签:老男孩学数学

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实数就是实际存在的数,Real Number,用大写字母 \(R\) 表示。每一个实数都与一维数轴上的一个点一一对应,但是实数不可穷举,具有无限多个。实数包含两部分:有理数和无理数

 

有理数,顾名思义,就是指有道理的数。古希腊数学家们最早发现的是有理数,并坚信有理数就是全部数字。有理数可继续分成整数和分数。整数用大写字母 \(Z\)(英文是Integer,\(Z\) 来自德语,为了纪念一个德国数学家)表示,分数可以表示成有限小数或者无限循环小数。

关于分数,就是有一个分子和一个分母的表现形式,有一个有趣的思考点:任何分数都是有限小数,或者无限循环小数(纯循环小数,或者混循环小数)。有趣的点在后面那个无限循环小数。比如 \(\frac{1}{3}\),就是\(0.\dot3\)这是一个无限循环小数。分数不可以表示成无限不循环小数,或者反过来,无限不循环小数,不能表示成一个分数。当一个分数表示成无限小数时,它一定是无限循环小数。

为什么分数可以表示成这样?

分数一定是两个整数的商,如果能除尽,结果就是一个有限的数;而在除不尽的时候,就表现出无限循环的特征。比如 \(\frac{2}{7}\):

2/7可以表示成无限循环小数

2/7可以表示成无限循环小数

用分子2除以分母7,其余数必定小于分母,每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数(如果余数是0,这个分数就能化成有限小数);或者说,除数是7,余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。

如果在除的过程中,有一个余数重复出现一次,那么后面所得的商与余数,也必定要重复出现。也就是说,余数一重复出现,商的相应数位上的数字也重复出现,循环就开始了,所得的商就是无限循环小数。

 

有理数包含了无限循环小数,那么剩下的无限不循环小数,就叫做无理数。比如著名的圆周率\(\pi\)(π=3.14159265358979323846……)就是一个无限不循环小数,还有常数e,\(\sqrt2\) 。无理数不可以表示成分数。

如何理解无理数的存在呢?

小数点后面的一串数字永不循环是可能的,我们把一串数的组合当做一个模式,而在无限的情况下,即这个一串数的个数不确定,模式可以永不重复,具有无限性。无理数的发现诱发了第一次数学危机

 

实数是微积分的基础。

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云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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《实数,有理数,无理数》有3条评论

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  • 复数是C [ ]

  • 有理数可以表示成分数,因此便于测量计算,而无理数不可以表示成分数,无理数的发现导致了历史上第一次数学危机。 [ ]

  • 分数的英语:fraction [ ]


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