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由施密特(Schmidt)正交化想到的...

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2017年4月28日 / 29次阅读 / 1条评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2017-05-26 15:39:57

7788 / 2017年4月28日 / 29次阅读 / 标签:老男孩学数学  

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通过施密特(Schmidt)正交化的方法,可以把一组线性无关的N维的向量组A转化成一组正交向量组B,并且,比较重要的一个点是,这样正交化之后,新求得的这一组正交向量与原来那一组线性无关的向量等价。

向量组等价的内涵是,这两组等价的向量相互之间可以线性表出。A中的每一个向量,都可以被B线性表出,B中的每一个向量,也都可以被A线性表出。线性表出这个概念背后,隐藏着另外一个东西,向量空间中的坐标。

N维向量空间中,在每一个维度都取1,同时在其它维度取0,这样得到N个向量,即相互正交(垂直),长度都是1,这一组向量称为N为向量空间的标准自然基。基,我想英文应该是base,就是确定的坐标系。比较有意思的是,N维向量空间除了有一组我们人类最容易理解的自然基之外,理论上还可以有无数个不同的基,相同的向量,在对应不同基的时候,其坐标也自然就不同了。不同的基之间可以转化,这样的转化对于向量来说,就是坐标的变化。N维空间中n各线性无关向量组,就是一个基,不管其成员向量间是否相互正交。

现在回过头来想想施密特正交化的方法,这个方法其实求解出来的正交向量,就是N维向量空间的一个正交基(基中向量只需两两正交,并不需要单位化,单位化之后的基叫做标准正交基,或者规范正交基,比如自然基)。由于这个基跟原来的那组线性无关的向量等价,这意味着,这个基中有一组坐标,用来表示向量组A。

施密特正交化方法,除非原来那组向量A本身的空间位置有特殊性外,一般情况下,求出来的基都不可能是自然基。这是从施密特正交化方法本身就看观察出来的,这个方法的第一步就是让 \(\beta_1 = \alpha_1\),然后再开始计算 \(\beta_2\)。这相当于先固定一个向量,作为新坐标系的一个轴,然后依次计算下一个轴的位置。

另一个有意思的地方是,如果是N维空间,但是线性无关的向量组A的向量个数小于N,这样也可以计算。本来,正常情况下,N维向量的坐标应该有N个维度,即N个数值来表示;现在在线性无关的向量组A中,向量个数小于N,这样计算出来的新的基的维度也是小于N的。这样,单纯从计算上来看,可行并无错。

在人类观念世界可以想象的三维空间中,如果我们任意固定一个维度的值不变,三维空间就降低成二维空间,即从一个空间变成了一个平面;如果在平面中固定x或y的值,平面就变成了一条直线,二维就降低成了一维。N维空间中的维度的降低类似,只要固定某一个维度的值不变,维度就自然降低。

在我们的这个世界中,光速是不变的,这是否是光速这个维度,我们永不可及......是谁固定的光速这个维度?!

 

2017-05-23:

4个3维列向量一定线性相关,因为列向量个数超过了维度;如果其中有3个向量线性无关,则另1个一定可以被这3个线性无关列向量线性表出。我嗅到了一种闻到:难倒线性无关的向量组,也可以作为某种意义上的坐标?!在二维平面,是否有人研究过非直角坐标系?

是的。

-- (*^-^*) --

本文链接:http://www.maixj.net/misc/schmidt-zhengjiao-15121
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

《由施密特(Schmidt)正交化想到的...》有1条评论

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  • 麦新杰  said:

    霍金:我们需要一个新的量子理论,将重力和其他自然界的其它力量整合在一起。许多人声称这是弦理论,但我对此表示怀疑,目前唯一的推测是,时空有十个维度。   [ 回复 ]


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