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欧几里得度量(欧氏距离)

7788
2017年10月6日 / 31次阅读
标签:老男孩学数学

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欧几里得度量,或者说欧氏距离,Euclidean Distance,这个名字来自著名的古希腊数学家欧几里得。

欧几里得(公元前330年—公元前275年),古希腊数学家。他活跃于托勒密一世(公元前364年-公元前283年)时期的亚历山大里亚,被称为“几何之父”,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,欧几里得几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

欧几里得度量(欧氏距离)是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧氏空间中两点间的距离公式。

 

1, 平面上两点的欧氏距离

二维平面\(R^2\)的上两个点\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)的距离计算公式:

$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

 

2, 空间中两点的欧氏距离

三维空间\(R^3\)中,两个点\(A(x_1,y_1,z_1)\)和\(B(x_2,y_2,z_2)\)的距离计算公式:

$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$$

 

以上两个距离公式,均可以很轻松的通过勾股定理证明。

 

3, \(N\)维空间\(R^n\)中两点的欧氏距离

当空间维度超过3,我们无法直观的看到两个点的距离,但是套用平面和空间的欧氏距离计算公式的特点,我们可以得到\(N\)维空间\(R^n\)中,两点\(A=(a_1,a_2,...,a_n)\)和\(B=(b_1,b_2,...,b_n)\)的距离计算公式:

$$d=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+...+(a_n-b_n)^2}$$

写简单点,就是:

$$d=\sqrt{\sum^n_{i=1} (a_i-b_i)^2}$$

按照两个向量相乘的方式写,就是:

$$d=\sqrt{(A-B) \cdot (A-B)^T}$$

 

欧几里得度量(欧氏距离)的计算,就是这么简单。维空间\(R^n\)中两个点的欧氏距离,我们只能意淫!

本文链接:http://www.maixj.net/misc/oushi-juli-16760
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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