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罗素悖论与哥德尔不完备性定理

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2017年4月28日 / 114次阅读
标签:老男孩学数学

1901年,罗素发现了集合论中的一个漏洞,提出了著名的“罗素悖论”,这一悖论引发了数学的第三次危机。“罗素悖论”可以用一个“理发师悖论”进行通俗的表述:某位理发师在店门外挂了一块告示:“本人只给本地所有自己不理发的人理发”。来找他理发的人络绎不绝,当然都是自己不理发的人。然而,某一天当他自己的头发需要修理时,别人问他:“你这个头发是别人理呢还是自己修理?”他顿时哑口无言、无言以对。如果自己理发,他就违背了只给自己不理发的人理发这个行为准则;让别人为自己理发,他又属于不给自己理发的人,应该自己理发。

我们把所有来理发的人(自己不理发)看成是一个集合,每个人都是这个集合中的一个元素,如果理发师也属于这个集合中的一个元素,那么这种集合就是一种包含集合自身的集合。如果理发师不包含在内,就是另外一个不包含自身的集合。对这两个集合中的任意一个集合进行提问,都会产生悖论,让人左右为难、无法回答。

集合论是十九世纪下半叶,由德国数学家康托尔创立的,在经历了一些坎坷波折和别人的完善后,获得了崇高而广泛的赞誉,被誉为现代数学的基石,是人类纯粹智力活动的最高成就之一。普遍认为人类的一切数学成果都可建立在集合论的基础之上,包括微积分、群论、拓扑等等。这个世界的任何事物也都可以说是一种集合的形式,包括无穷大、无穷小,乃至对一个线段、一个几何图形的微分,一个工程的设计、预算,还有你的人生,等等。牛顿正是通过解析几何对物体运动的抛物线进行微分和积分后,才建立起经典力学的堂皇大厦。现在,罗素提出他的“罗素悖论”,无疑捅了一个天大的漏子,如果连数学都是有缺陷的,人类还能有什么工具对客观世界做出准确而全面的表达和描述呢?这个悖论不解决,包括罗素在内的所有逻辑分析哲学家还有何脸面对别人的哲学说三道四?岂不是拿一个有缺口的手术刀去做解剖,能把解剖对象剖析得精精准准、一清二楚吗?

解铃还须系铃人。罗素在经过对这个悖论以及说谎者悖论等悖论研究后发现,这些悖论的产生是语言的自我封闭性造成的,也就是在自我指涉或自我相关中落入了一个“恶性循环”的怪圈。消解这些悖论的最好办法就是将“当事人”排除在外,划入另外一个类中。就好比说,足球队是这个足球队中所有足球运动员的集合,但这个足球队不能包括在这个集合中,足球队只能是足球协会这个更大集合中的一个成员,这样分得一清二楚,问题便迎刃而解。

然而,就在数学家们为这个问题的解决感到欢欣鼓舞,雄心勃勃地准备对集合做出更加伟大动作时,一个更大的数学危机降临了。这次危机不能叫有人捅漏子,应该说是当头棒喝,一棍下来,让很多人“死了心”,不死心的人迟早一天也要“死心”。做出此举的不是罗素,而是另外一个人,他叫哥德尔,因为这个当头棒喝,他被《时代周刊》评选为二十世纪最杰出数学家的第一位。

有一句话叫“实践是检验真理的唯一标准”,很多人对它推崇备至,但数学家们却不以为然,数学命题的真假单靠抽象的数学演算即可获得,根本无需实践检验。如果实践检验1+1=2错了的话,那肯定不是1+1=2的问题,而是实践的方法不对,反过来倒成了1+1=2是检验实践的标准。通过公理的架构和抽象化的逻辑推理获得的数学定理、定律也是如此。数学之所以这样,是由它内在的相容性、一致性、可判断性决定的。也正因为如此,数学成为人类认识自然、掌握自然规律最有效最严谨的工具。

事实完全如此吗?

如果我们对逻辑和集合仔细分析后就会发现一些问题:一是,逻辑是排中的,也就是说,对一个对象的判断要么真、要么假,没有既是真又是假,或者半真半假的说法。逻辑把这种要么是真要么是假的判断或命题叫做“排中律”。一枚银币藏在左手还是右手,只能取其一,不在左手就在右手。“排中律”保证了我们判断事物的明确性。然而,当我们把逻辑的“排中律”运用到人的伦理道德上时,就会出现了这个人要么是好人,要么是坏人的结论,这种结论之荒唐,在历史上不知道冤枉了多少无辜的人。由此看来,这样的逻辑就是一种邪恶的逻辑——当然了,逻辑本身是没有邪恶可言的,邪恶的是使用这种逻辑的人;二是,集合的无穷概念超越了人们的直观认识,只不过是通过人们的心智过程被插入或外推出来的东西,将这些不能验证的东西纳入严谨的数学范畴是否妥当?虽然集合论数学家使用递归的方法保证了无穷与有限同样的行之有效,但不能完全排斥集合悖论。比如,“罗素悖论”的解决只不过是将问题推给了上面。足球队的悖论没有了,但足球协会的悖论同样存在,足球协会再将问题往上推,推给体育局,一步步往上推,没完没了,乃至无穷。

针对一些人对逻辑和集合的责难,一位数学家果断地站出来,要为全部数学提供一个坚实的安全的基础,以期彻底解决悖论问题。此人就是大名鼎鼎的德高望重的希尔伯特。“我们必须知道,我们必将知道。”希尔伯特和他的追随者坚信,数学大厦的基础是坚实的,任何数学真理,只要通过一代又一代人的不断努力,都能运用逻辑推理将其整合到数学的宏伟大厦中。

这是何等的气魄!何等的自信!何等的梦想啊!

这个被称之为“希尔伯特计划”的大概内容是这样的:所有数学经过统一的形式化、并且按照一套严格的规则使用后,这个公理系统我们必须证明:1、它的完备性:数学里所有的真命题都可以被证明;2、它的相容性:不可能推导出矛盾;3、它的保守性:如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”(如不可数集合)来证明,那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论;4、它的确定性:应该有一个算法,来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。

为了避免复杂化,希尔伯特的计划很简单,也似乎不太困难,先在基础的算术系统进行这样的形式化,然后再将其推广到更广阔的数学系统中,最后实现整个计划。算术系统并不是一个很复杂的系统,可以说是非常基础的,我们上学的时候做算术,对自然数做加法、乘法和数学归纳法,都会用到了这个系统。它早在1889年就被皮亚诺归结成一个有5条公理的系统,只是最后一条数学归纳法公理比较复杂。希尔伯特认为,通过这个简单的系统,他的计划是可以解决的。

希尔伯特计划大约在1922年问世后,吸引了许多数学家为实现这一计划去努力工作,一些简单的问题先后被证明,这些成绩的取得更增强了希尔伯特及其追随者的信心。“我们必须知道,我们必将知道。”就是希尔伯特在1930年退休演讲时发出的豪言壮语。然而,就在一年后,他的一个追随者、年青的数学家哥德尔便将他的梦想击得粉碎——哥德尔本来是想从正面证明希尔伯特问题,没想到却得到了相反的结论,这个结论就是著名的可以与爱因斯坦相对论比肩的哥德尔不完备性定理。

哥德尔的不完备性定理共有两条,仅第一条定理的数学运算就用了两百多页。为了使大家尽量能理解,本人使用通俗的表述,第一条定理:任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用这组公理不能判定其真假。也就是说,“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的;第二条定理是第一条定理的推论:任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,它就不能用于证明它本身的无矛盾性。打一个比方,一个人是无法自己证明自己清白的。

这里提到的公理,大家学数学的时候都遇到过,时间长了或许忘记了它的含义,本人在这儿跟大家一起复习一下。所谓公理,就是不证自明的基本事实,是人类经过长期反复的实践检验,不需要再加以证明的命题。比如说,两个点连成的直线距离最短,这是不言而喻的道理。传统的数学就是从公理等概念出发,通过演绎推理,证明和发现以前不知道的客观事实和它们的相互关系,并将其归纳为定理、定律,形成系统化的数学体系。比如欧几里得的几何,就是欧几里得先找出这么几条公理:两直线平行则同位角相等,等量加等量其和相等,等量减等量其差相等,彼此能重合的物体是全等的……然后通过这些公理推导出等腰三角形两底角相等、勾股定理等一系列命题。这种数学方法后来成为了用以建立任何知识体系的严格方式。

很显然,公理是建立数学大厦的前提和基础,而算术的加减乘除又是数学最基本的演算方法。希尔伯特将他的计划立足于这些基础之上,无疑是告诉人们,只有数学基础牢固了,数学的宏伟大厦才能经受各种的风吹雨打。

但哥德尔的不完备性定理粉碎了希尔伯特的梦想,对此感到惊讶的不仅是希尔伯特本人,还有许多数学家都难以接受,在接下来的一段时间里,一些数学家试图证明其他数学系统的相容性和完备性,或者采取退而求其次的方法,比如使用不在算术系统内的超限归纳法,但都只能证明个别的数学系统是完备的,而越来越多的数学问题被证明是不可判定的。至此,有人不得不感叹:数学也是不完美的,我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理,而不能证明任何谬误。

上千年来,很多哲学家、数学家都坚信,人类通过数理逻辑这一完备的工具,最终能够揭示物质世界最隐秘的奥秘,但哥德尔的不完全性定理却告诉我们:真与可证是两个概念。可证的一定是真的,但真的不一定可证;如果我们假定数学不会自相矛盾的话,我们就必须承认数学是不完备的。一言以概之,悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔惊呼:“上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。”

或许有人会说,不就是数理逻辑问题吗,跟人类其他的知识能有什么相干。您如果说跟迷信不相干我相信,因为他不是知识。任何思想认识,如果不能通过逻辑将其系统化,都不能称之为理论,只要这类知识或认识是一种基于逻辑之上的理论体系,就无法逃避不完备性定理这个魔鬼。再说,不论是我们说话还是写文章,都得有逻辑性,没有逻辑的话语只能被斥之为疯言疯语、痴人说梦,没有逻辑的文章包括小说在内,只能说是胡编乱造、一堆乱码。可以说,逻辑是人类理性思维的具体表现,是我们生活、工作、学习离不开的工具。哥德尔不完备性定理的意义是深远的,对人类其他知识体系的影响也是深刻的。它启示我们,任何一种自成体系的学说或理论,无论它说得多么完美,说得多么迷惑人心,终不可能通过自我论证自说自话来证明其绝对正确性,都不可能做到天衣无缝、滴水不漏。当我们绝对相信它时,就陷进了一种荒谬里。当我们保持一定距离欣赏它时,反而更接近真理。不完备性也是人类主观认识与客观实在关系的一种真实写照,在这种关系里,人类及其认识都是我们所描述的宇宙的组成部分,因而人的认识都逃脱不了“自我指涉“或”自我相关“的自圆其说的逻辑陷阱。“我们要么拥有一本正确的但却是极不完整的小书,要么拥有一本完整的但缺乏内在和谐的大书,我们可以选择完整也可以选择和谐,但鱼和熊掌不可得兼。”因此,任何一种终极理论都只是一种美好的梦想,而宇宙最深的奥秘是我们无法解释的。当代著名科学家史蒂芬?霍金一直对物理学的终极理论抱有极大的期待,写了好几本书表达自己对宇宙的认识和对终极理论的兴趣,后来他在北京所做的《哥德尔与M理论》的演讲中,不得不说:“现在我很高兴我们寻求知识的努力永远都不会到达终点,我们始终都有获得新发现的挑战。没有这种挑战,我们就会停滞。哥德尔定理保证了数学家们总有事情要做。”著名物理学家J.惠勒在一九七四年发表的一篇文章中曾断言:即使到了公元五○○○年,如果宇宙仍然存在,知识也仍然放射出光芒的话,人们仍然会把哥德尔的不完备性定理和量子力学的不确定性原理看成是一切知识的中心。

通过罗素悖论和哥德尔的不完备性定理,我们知道了人类是无法获得对自然最终认识的,任何涉及主客观世界的理论体系,都是不完备的。这是否意味着人类放弃了对自然根本性问题的探究呢?答案显然是否定的。探究自然奥秘,不仅仅是人类好奇心和兴趣使然,更为重要的,它触及到生命存在和人类精神世界最隐秘的情感。只要人类逃脱不了生老病死和情感纠葛,只要人类能够思考,就会叩问人与自然的关系,就会探寻生命存在的意义,只有将生命存在的意义建立在自然根本性问题之上,人类才能找到归属感,哪怕这种归属是虚无缥缈的无法证明的神灵;或者,相信自然界存在着一种普遍的精神或者叫做创生的力量,我们的精神世界与它一脉相承,它是我们存在的理由,也是我们最终与它融为一体的地方;抑或,人类的宗教、艺术、哲学、科学活动都是一种人与自然分离后本能的回归家园的艰难旅程,或许我们误入歧途,或许我们永远回不去,但我们一直在做,一直在感受着它的召唤,一直在寻找回家的路。

转自:http://bbs.tianya.cn/post-no01-499799-1.shtml

本文链接:http://www.maixj.net/misc/luosu-gedeer-15128
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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