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闭区间连续,开区间可导

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2016年4月12日 / 23次阅读 / 暂无评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2016-04-11 20:28:30

7788 / 2016年4月12日 / 23次阅读 / 标签:老男孩学数学  


闭区间连续,开区间可导

本文主要总结个人对微积分中函数连续和可导的理解,解释为什么高等数学中的微分中值定理都是使用函数在[a,b]连续,在(a,b)可导开始,即为什么都是使用闭区间连续,开区间可导的函数?

 

函数连续,是一个有点绕的概念,其实它很简单。

连续函数在解析几何坐标系上画出来的就是一根不间断的曲线,当然,要在函数的定义区间内。连续的概念是针对某个x轴的点的,我们说,函数在某点连续,也可以说,函数在某一个区间连续。如果用极限来定义连续的概念,就是x轴上的那个点的极限,等于将这个点的值代入函数表达式去计算。

由于极限分左极限和右极限,左右极限相等的点就是连续点,左右极限不相等的点就是间断点。还记得有哪些类型的间断点吗?左右至少有一个极限不存在(极限是无穷大),第二类间断点;左右极限都存在,第一类间断点,然后再分跳跃间断点和可去间断点。

极限分左右,连续也分左右,这样在一个闭区间上,就可以说左连续,或者右连续了。极限是一个值,而连续只是一个极限表达出来的性质。

高等数学教材也说了,初等函数在其定义域内都是连续的。

 

老师一定让你记住一句话:可导必连续,但是连续不一定可导。是的,可导虽然也分左可导和右可导,但是我们如果要说某一个点可导,必须左右导数相等

这就是为什么微分中值定理总是说,函数在闭区间连续,而在开区间可导的原因。因为,在区间两个端点处,一定是不可导点,但是却可以保持函数连续。

 

再说说为什么函数连续不一定可导

想象坐标系上有一根曲线,不过,曲线上有菱角。有菱角表示一个突变,一个x与y数值变化对应关系的突变。在这个菱角点上,不可导不可微。所以,连续不一定可导。

(0,0)点连续但不可导

(0,0)点连续但不可导

还有一种函数不可导的情况是,导数计算的结果是无穷大,这种情况在函数曲线上看,就是那个点的切线垂直于x轴。

 

除了端点,函数处处可导,就意味着这个函数在此区间的曲线没有菱角。在闭区间连续,在开区间上可导的函数,就是一条没有菱角的连续曲线。

本文固定链接:http://www.maixj.net/misc/lianxu-kedao-11951

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