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三角函数两角和差公式的证明

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2015年8月14日 / 81次阅读 / 2条评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2016-03-31 22:05:20

7788 / 2015年8月14日 / 81次阅读 / 标签:老男孩学数学  


三角函数两角和差公式的证明

三角函数两角和差公式是进一步证明其它三角函数公式的基础(数学就是这样,从一个定理推导出另外一个,从一个公式推导出另外的公式,这个逻辑链条有的时候拉得很长,长得让人觉得最后得出的结论真是不可思议)。

 

三角函数两角和差公式如下:

$$\sin(a+b) = \sin{a}{\cdot}\cos{b} + \cos{a}{\cdot}\sin{b}$$

基于以上公式,可以直接写出 \(\sin(a-b)\) 的展开式;

将 \(\cos(a+b)\) 写成 \(\cos(a+b+\frac{\pi}{2})\) 就可以写出其展开式;

然后再直接写出 \(\cos(a-b)\) 的展开式。

当然,要熟练并灵活使用三角函数最简单的诱导公式

 

三角函数两角和差公式的证明:

本文贴出来的证明方法是使用单位圆的方法。

图片转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_58260f420100c03j.html

 

证明:\( \sin(a+b) = \sin{a}{\cdot}\cos{b} + \cos{a}{\cdot}\sin{b} \)

在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:

三角函数两角和差公式的证明-1

三角函数两角和差公式的证明-1

如图中所示,容易看出:sin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB; sinβ=CD;cosβ=OD,则:

三角函数两角和差公式的证明-2

三角函数两角和差公式的证明-2

三角函数两角和差公式的证明-3

三角函数两角和差公式的证明-3

 

继续证明:cos(a+b)=cosa*cosb - sina*sinb;

三角函数两角和差公式的证明-4

三角函数两角和差公式的证明-4

三角函数两角和差公式的证明-5

三角函数两角和差公式的证明-5

三角函数两角和差公式的证明-6

三角函数两角和差公式的证明-6

三角函数两角和差公式的证明-7

三角函数两角和差公式的证明-7

 

还可以用平面几何的方法来正面三角函数两角和差的公式。

总之,证明的方式不是局限在三角函数换算内部,而是跳出来,画个图,通过图形计算来简介证明。

 

用两角和差公式推导和差化积公式:

\( \sin{a} + \sin{b} \\
= \sin(\frac{(a+b)}{2} + \frac{(a-b)}{2}) \\
\quad + \sin(\frac{(a+b)}{2} - \frac{(a-b)}{2}) \)

三角函数二倍角公式的各种推导,都是利用两角和差公式。

本文固定链接:http://www.maixj.net/misc/liangjiaohecha-7495

“三角函数两角和差公式的证明”有2条评论

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  • […] 三角函数二倍角公式,可以用两角和差公式来直接推导。具体如下: […]   [ 回复 ]

  • […] 三角函数和差化积公式相对记忆难度偏大,因为里面有许多二分之一的表达式。我们可以采取一条简单的记忆路线,即先记住两角和差公式,然后用两角和差公式直接推导和差化积公式。具体如下: […]   [ 回复 ]


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