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极值点,最值点,驻点,拐点

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2017年5月9日 / 131次阅读
标签:老男孩学数学

极值点,最值点,驻点和拐点,都是微积分中的概念。

注意:分段函数也是一个函数,分段函数并不是多个函数。

 

极值点

极值的定义从x点的某领域展开,在这个领域内,f(x)的值总是大于等于其它值,或者小于等于其它值,x点就是一个极值点;

在极值的定义中,并没有约定极值点一定是函数的连续点;

在极值的定义中,存在等于符号,这表示如果在x的某领域内,函数是一个常数函数,x也是一个极值点;这时,x既是极大值,也是极小值;

在某区间,函数如果严格单增单减,没有极值点;

极值点的存在,一定需要某领域,领域意味着这个点左右两边还有一块定义域;

极值点可以可导,也可以不可导,没关系;

如果极值点可导,其导数等于零。

极值点的第一充分条件

函数在点x处连续,在x的某去心领域内可导,如果导数在x点左右领域内反号,即一正一负(不能等于零),x比为极值点。

至于是极大值点还是极小值点,看看左右两边导数的正负情况。

x点处连续可导,x点是极值点,但是不能推导出x点左右领域导数反号;左右导数反号只是一个充分条件,并不是必要条件。

极值点的第二充分条件

x点二阶可导,x一阶导数等于零,x二阶导数不等于零:

二阶导数大于零,x为极小值;

二阶导数小于零,x为极大值;

这也只是个极值的充分条件。

 

最值点

最值就是最大值和最小值;在定义中,最值的比较有等号;

取到最值的点,就是最值点,定义中并没有约定最值点一定是函数的连续点;

根据我们讨论最值的区间,有的时候,可以没有最值点;(极值点和最值点可以同时不存在,比如在无穷区间单增单减的函数)

最值点可能是极值点,也可能是闭区间的端点;

如果最值点的取得不再闭区间的端电上,这个最值点同时也是一个极值点;

最值点可以可导,也可以不可导,没关系;

如果最值点可导,最值点如果不取区间端点,其导数和极值点一样,等于零;如果最值点去区间端点处,函数在此点只是单侧可导,导数不一定等于零。

 

驻点

驻点,也叫稳定点或临界点;

驻点的定义是函数一阶导数等于零的点;

从驻点的定义可以看出,驻点一定是一个可导点,并且导数等于零,因此驻点一定是函数的连续点;

极值点和最值点都有可能是驻点,在这些点都可导的时候。

 

拐点

函数f(x)的凹凸弧分界点,称为拐点,这就是拐点的定义;

区间内函数二阶导数大于零,就是凹;

区间内函数二阶导数小于零,就是凸;

拐点判定的充分条件

x点连续,在x点的某去心领域内二阶可导,x点左右领域二阶导数反号,则x为拐点。

可导拐点的必要条件

x是函数f(x)的拐点,如果x点二阶可导,则x点的二阶导数等于零。

这时,如果要分析x点左右的凹凸性,可以使用x点的三阶导数的值的正负号来判断,原理就是用导数的定义写出x点的三阶导数的表达式,一看就明白了。

 

从非数学符号来说明这些定义,要说很多话,也没有符号定义的那么严谨精炼,但是却能够把很多细节描述出来,加深理解。

总结:

1, 极值点,最值点,拐点都可以是不可导点;(导数等于无穷的点,但是可以是拐点,想象两个半圆的连接)

2, 只有驻点是必须要求可导的;

本文链接:http://www.maixj.net/misc/jizhi-zuizhi-zhudian-guaidian-15177
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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