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三角函数和差化积公式的推导和记忆

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2016年3月28日 / 74次阅读 / 2条评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2016-03-31 21:57:26

7788 / 2016年3月28日 / 74次阅读 / 标签:老男孩学数学  


三角函数和差化积公式的推导和记忆

三角函数和差化积公式相对记忆难度偏大,因为里面有许多二分之一的表达式。我们可以采取一条简单的记忆路线,即先记住两角和差公式,然后用两角和差公式直接推导和差化积公式。具体如下:

1, 只需记住最重要的一个两角和差公式

对,只需记住这一个,就可以将我们常用的所有三角函数公式全部推导出来,本文主要介绍推导和差化积公式。

这个需要记住的公式为:$$\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}$$

这个公式太重要了,几乎所有常用的三角函数公式都可以由它来推导。

2, 开始推导和三角函数和差化积公式

\( \sin{a} + \sin{b} \\
= \sin(\frac{(a+b)}{2} + \frac{(a-b)}{2}) \\
\quad+ \sin(\frac{(a+b)}{2} - \frac{(a-b)}{2}) \\
= \sin(\frac{a+b}{2}){\cdot}\cos(\frac{a-b}{2}) \\
\quad+ \cos(\frac{a+b}{2}){\cdot}\sin(\frac{a-b}{2}) \\
\quad + \sin(\frac{a+b}{2}){\cdot}\cos(\frac{a-b}{2}) \\
\quad- \cos(\frac{a+b}{2}){\cdot}\sin(\frac{a-b}{2}) \\
= 2{\cdot}\sin(\frac{a+b}{2}){\cdot}\cos(\frac{a-b}{2}) \)

通过两角和差公式,直接写出和差化积公式。

3, 用这一个和差化积公式,直接推导剩下的公式

\( \sin{a} - \sin{b} \\
= \sin{a} + \sin(-b) \)

\( \cos{a} + \cos{b} \\
= \sin(a + \frac{\pi}{2}) + \sin(b + \frac{\pi}{2}) \quad (..1) \)

\( \cos{a} - \cos{b} \\
= \cos{a} + \cos(b + \pi) \quad (..2) \)

公式(2)直接使用公式(1)来展开。

4, 反向使用两角和差公式推导 \(\tan{a}+\tan{b}\)

不说废话了,直接写出推导过程:

\( \tan{a}+\tan{b} \\
= \frac{\sin{a}}{\cos{a}} + \frac{\sin{b}}{\cos{b}} \\
= \frac{\sin{a}{\cdot}\cos{b}+\cos{a}{\cdot}\sin{b}}{\cos{a}{\cdot}\cos{b}} \\
= \frac{\sin(a+b)}{\cos{a}{\cdot}\cos{b}} \)

本文推导公式的过程,也是非常简单有效的记忆过程!

本文固定链接:http://www.maixj.net/misc/hechahuaji-gongshi-11470

“三角函数和差化积公式的推导和记忆”有2条评论

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  • 麦新杰  says:

    和差化积的和差必须是相同三角函数。   [ 回复 ]

  • […] (sin(a+b))这个公式可以说最重要,但是它很好记忆。它下面的哪些公式,都可以用这个(*)来推导,具体可参考:和差化积公式的推导,二倍角公式的推导。 […]   [ 回复 ]


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