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用行列式直接写出联立方程的解

7788 / by: 麦新杰 / 发布:2016年11月13日 / 24次阅读 / 暂无评论
标签:老男孩学数学   / 最后修改时间: 2017-03-21 21:49:58

7788 / 2016年11月13日 / 24次阅读 / 标签:老男孩学数学  

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线性代数是最容易算晕掉的数学,密密麻麻,很容易算错。需要始终记住:线性代数是从求解联立的多元一次方程中发展而来的。对于n元一次方程,并且有n个方程表达式,我们可以直接用行列式的表达式来写出方程的每一个解。这样,剩下的事情,就是求行列式的值了。

 

先来看看使用传统的消元法解方程的过程:

2元一次联立方程,2个方程式

2元一次联立方程,2个方程式

我们按照正常消元法来求解,因为只有两个未知数,这个计算量可以承受,如下图:

用消元法计算2元一次联立方程

用消元法计算2元一次联立方程

 

但是如果是下面这个3元一次联立方程,有3个方程式的情况,使用消元法就要搞死人了。

所以,我们可以直接采用行列式的方法:

3元一次联立方程,3个方程式

3元一次联立方程,3个方程式

直接写出三个解:

直接写出解的行列式表达式

直接写出解的行列式表达式

注意规律:计算x1,就是用b1b2b3去替换系数矩阵中x1的那一列系数;同样,计算x2,就是用b1b2b3去替换系数矩阵中x2的那一列系数;以此类推。

这个方法对于解上面2元一次联立方程也是可以的。

如果作为分母的那个行列式等于0,这个情况表示什么?

 

几个细节:

1, 二阶行列式可以直接计算:

二阶行列式的计算

二阶行列式的计算

2, 只有方阵才能计算行列式。

行列式的定义和计算规律,在教材中不加证明直接给出,其实是因为证明的过程也是密密麻麻太复杂,出版商估计也不好搞这几页的编排。这个时候,就需要相信了,肯定是正确的,看看2元一次联立方程的求解,那是最简单的过程,复杂的过程我们也会,只是需要很多纸和很多的耐心,以及一些技巧。

 

2017-03-21:

本文所述其实就是克拉默(Cramer)法则。

克拉默法则的证明其实不难,就是通过使用伴随矩阵发求系数矩阵的逆矩阵。

补充一点内容:如果b1,b2...bn全是0,我们称其为n元齐次方程组,否则就是n元非齐次方程组;n元齐次方程组一定有零解(x1=x2=...xn=0),如果系数矩阵(记为A)的行列式不为零,即detA不等于0,则方程组只有零解;如果方程组存在非零解,detA一定等于0。

-- (*^-^*) --

本文链接:http://www.maixj.net/misc/hanglieshi-lianli-fangcheng-13571
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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