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向量组的线性相关,无关,共线和共面

2017年3月26日 / 72次阅读  7788
标签:老男孩学数学

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关于向量组,有几个概念需要搞清楚:线性相关,线性无关,共线和共面。

 

线性相关的定义是:

有一组不全为0的数,去分别乘以一组向量,结果为0;

线性无关的定义是:

找不到一组不全为0 的数,去分别乘以一组向量,结果为0;

一组向量的关系,要么相关,要么无关。

 

共线和共面是特殊情况。

如果2维空间,可以想象,2个向量共线就是这两个向量在一条直线上,并且这条直线通过0点;3个向量如果满足平行四边形法则,就是共面,此面包含0点。

如果是3维空间,可以想象,2个向量共线,跟在2维空间一样,一条经过0点的直线;2个向量共面,就是这两个向量平行;3个向量如果满足平行四边形法则,就是共面,跟2维空间一样,3维空间中的这个面包含0点。

高维空间就无法直观表示,只能通过线性相关和无关的定义来确定。

也可以说,共线和共面等同于线性相关。

 

还有一种说法:

一组向量如果线性相关,则其中至少有一个向量能够被其它向量线性表示出来,至少有一个,实际情况还可能是多个,那么,可以说,这一组向量中有多余的向量。

一组向量如果线性无关,则其中任何一个向量都不能够被其它向量线性表出,任何一个都不能,那么,可以说,这一组向量没有多余的向量。

一组向量的极大线性无关组,就是去掉所有“多余”向量之后,剩下的一组线性无关的向量。

如果一个向量可以被一组向量线性表示,如果这一组向量是线性相关的,表示的方法可以无限多个,如果这一组向量是线性无关的,只有唯一一种表示方法。

 

线性相关,即在某种程度或某个层面上成比例;

线性无关,即在任何程度或任何层面上都不成比例。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/gongxian-gongmian-14863
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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