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函数严格单增的充要条件

2017年6月5日 / 98次阅读
老男孩学数学

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函数严格单增的充要条件:

可导的初等函数\(f(x)\),若在某区间\((a,b)\)内,\(f^{'}(x) \ge 0\) ,且 \(f^{'}(x) = 0\) 不能形成区间 \(\Leftrightarrow\) \(f(x)\)在此区间内严格单调递增。

 

什么叫\(f^{'}(x) = 0\) 不能形成区间,如下图函数图形,这就是形成区间的样子:

f(x)=0形成了区间

f(x)=0形成了区间

这样的函数,是单调递增,但是不严格。

不能形成区间,如\(f(x)=x^3\)的图形,在\(x=0\)这个点的导数等于0,但是只有这一个点,因此,函数严格单增。

因此,\(f(x) \gt 0\)只是严格单增的充分条件。

如果存在有限个或无限个\(f^{'}(x)=0\)的点,只要这些点不是连续的,都不能形成区间。

一般多项式(导数)的根,都是离散的点,不可能连续,也就不能形成区间。(什么样的函数有连续区间的根呢?最容易想到的就是分段函数,比如分段函数有一段是常数函数)

 

函数的严格单调递减与此相同!

 

最后,复习一下函数单增单减的定义:

在函数\(f(x)\)的定义域X内,对于任意的\(x_1<x_2\),一定有\(f(x_1) \le f(x_2)\),则称\(f(x)\)单调增加,如果一定有\(f(x_1) \lt f(x_2)\),则称\(f(x)\)严格单调增加;

在函数\(f(x)\)的定义域X内,对于任意的\(x_1<x_2\),一定有\(f(x_1) \ge f(x_2)\),则称\(f(x)\)单调增加,如果一定有\(f(x_1) \gt f(x_2)\),则称\(f(x)\)严格单调增加;

从定义可以看出,一个常数函数,既可以说是单增,也可以说是单减,但是都不严格。

 

本文部分内容要感谢马同学的分析(微信号:matongxue314),链接:https://mp.weixin.qq.com/s/CokcUqudFoDRx-WZMexLrQ

本文链接:http://www.maixj.net/misc/dizeng-15681
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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