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等价无穷小替换

2016年4月9日 / 127次阅读
老男孩学数学

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函数的自变量 \(x\) 在 \(x\to{x_0}\) 时,\(y\) 是一个具体的数,或者是无穷,无穷大或者无穷小,这就是函数的极限。存在的极限是一个数,符合四则运算法则。高等数学中很多问题的求解,比如求表达式的导函数,可以转换成求一个函数表达式的极限。

在极限计算的过程中,等价无穷小替换是很重要的一个技巧,即在乘除运算中,表达式的某一部分可以用其等价的无穷小来替换,而会不影响表达式极限运算的结果。

由于无穷大与无穷小是倒数关系,因此,在高等数学教材中,只列出了常用的一组等价无穷小的替换公式。

具体如下:

当 \(x\to{0}\) 时,

\(x\sim\sin{x} \\
\quad \sim\tan{x} \\
\quad \sim\arcsin{x} \\
\quad \sim\arctan{x}\)

\(1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2\)  (可用二倍角三角函数公式证明)

\(x\sim\ln(x+1) \\
\quad \sim e^x-1\)

\(a^x-1\sim{x{\cdot}lna}\)

\((1+x)^a-1\sim{ax}\) (\(a\neq0\)是常数)

 

以上等价无穷小的证明需要用到三角函数运算和对数运算变换,具体可参考常用数学公式

注意:等价无穷小的公式替换只能在乘除运算中进行,不可在加减运算环境下使用。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/dengjia-wuqiongxiao-11881
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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