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代数基本定理(高斯)

2016年11月8日 / 99次阅读
老男孩学数学

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高斯在数学研究中有许多重大建树,第一个重大建树出现在他1799年发表的博士论文中,即代数基本定理的证明。

首先明确:代数的最主要的作用使用来解代数方程。

在高斯的论文中,他第一次严格证明了“代数的基本定理”(Fundamental theorem of algebra),他的证明思路是这样的:

即任何一元n次方程式,在复数域,至少有一个根,如果这个根是a,用(x-a)去除方程式,就得到一个(n-1)次方程式,而这个(n-1)次方程式,也至少会有一个根。

这样推下去,就证明一元N次方程式就一定会有n个根,在这里 n 是个正整数。为了求出这个基本代数定理的第一个证明,高斯还承认了复数的概念,巩固了复数的地位,并于1831年建立了复数代数学。

这是一项了不起的证明,因为人们虽然在很早的时候就知道怎样求一元一次方程式的根,并于1500年前后又陆续找到了求一元二次﹑三次和四次方程根的公式,但从那以后的三百年内,谁也没能求出一元五次方程的根来。

多次方程有没有根?这确实是代数学中的一个基本重大的问题。高斯证明的这条代数基本定理,明确地告诉我们不管什么样的代数方程式都有根(复数域)。从而给决心求出任何方程根来的人们,树立了坚定的信念;而高斯探讨代数基本定理的方法,也开创了探讨代数学中整个存在性问题的新途径,为数学的发展开辟了更广阔的前景。

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云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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