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半角公式的推导

2016年3月28日 / 119次阅读
老男孩学数学

文章《半角公式的推导》的特色图片

三角函数半角公式的推导,主要使用二倍角公式,根据半角公式的不同的表达式,还是用到了一点点两角和差公式。如果考虑到二倍角公式也是由两角和差公式推导出来的话,所有的半角公式都可以用两角和差公式来推导,再次说明三角函数两角和差公式的重要性!

三角函数半角公式推导过程如下:

由二倍角公式可得:

$$ 1 - \cos{a} = 2{\cdot}\sin^2(\frac{a}{2}) $$

所以:

$$ \sin(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos{a}}{2}} $$

同理,由二倍角公式有:

$$1 + \cos{a} = 2{\cdot}\cos^2(\frac{a}{2})$$

所以:

$$ \cos(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos{a}}{2}} $$

因此:

$$ \tan(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos{a}}{1+\cos{a}}} $$

另外:

$$\begin{align}
\tan(\frac{a}{2}) &= \frac{\sin(\frac{a}{2})}{\cos(\frac{a}{2})} \\
&= \frac{2{\cdot}\sin(\frac{a}{2}){\cdot}\cos(\frac{a}{2})}{2{\cdot}\cos^2(\frac{a}{2})} \\
&= \frac{\sin{a}}{1+\cos{a}}
\end{align}$$

上式证明,是将两角和差和二倍角公式反过来使用,上式还有另外一个表达形式:

$$\begin{align}
\tan(\frac{a}{2}) &= \frac{\sin(\frac{a}{2})}{\cos(\frac{a}{2})} \\
&= \frac{2{\cdot}\sin^2(\frac{a}{2})}{2{\cdot}\sin(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2})} \\
&= \frac{1-\cos{a}}{\sin{a}}
\end{align}$$

以上就是所有的三角函数半角公式。

本文链接:http://www.maixj.net/misc/banjiao-gongshi-tuidao-11492
云上小悟 麦新杰(QQ:1093023102)

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